Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70483 / 95314
↖ ↑ ↗
← S 63.017598°
E 13.587341°		 ← 138.58 m → S 63.017598°
E 13.590088°		 →
↑
138.57 m
↓
↑
138.57 m
↓
S 63.018844°
E 13.587341°		 ← 138.57 m →
19 202 m²		 S 63.018844°
E 13.590088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537746429443359 y=0.727191925048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537746429443359 × 217)
    floor (0.537746429443359 × 131072)
    floor (70483.5)     		tx = 70483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727191925048828 × 217)
    floor (0.727191925048828 × 131072)
    floor (95314.5)     		ty = 95314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70483 / 95314 ti = "17/70483/95314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70483/95314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70483 ÷ 217
    70483 ÷ 131072     		x = 0.537742614746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95314 ÷ 217
    95314 ÷ 131072     		y = 0.727188110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537742614746094 × 2 - 1) × π
    0.0754852294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23714384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727188110351562 × 2 - 1) × π
    -0.454376220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42746499688603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23714384} λ = 0.23714384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42746499688603))-π/2
    2×atan(0.239916340685378)-π/2
    2×0.235465876236441-π/2
    0.470931752472881-1.57079632675     		φ = -1.09986457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23714384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.587341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09986457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.017598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70483 KachelY 95314 0.23714384 -1.09986457 13.587341 -63.017598
    Oben rechts KachelX + 1 70484 KachelY 95314 0.23719178 -1.09986457 13.590088 -63.017598
    Unten links KachelX 70483 KachelY + 1 95315 0.23714384 -1.09988632 13.587341 -63.018844
    Unten rechts KachelX + 1 70484 KachelY + 1 95315 0.23719178 -1.09988632 13.590088 -63.018844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09986457--1.09988632) × R
    2.17499999999315e-05 × 6371000     		dl = 138.569249999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09986457--1.09988632) × R
    2.17499999999315e-05 × 6371000     		dr = 138.569249999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23714384-0.23719178) × cos(-1.09986457) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.453716813478214 × 6371000     		do = 138.576793507015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23714384-0.23719178) × cos(-1.09988632) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.453697430947107 × 6371000     		du = 138.570873583109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09986457)-sin(-1.09988632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453716813478214-0.453697430947107)×R²
    abs(0.23719178-0.23714384)×1.93825311063378e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93825311063378e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93825311063378e-05×40589641000000     		ar = 19202.0721845788m²