Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70482 / 95298
↖ ↑ ↗
← S 62.997653°
E 13.584595°		 ← 138.64 m → S 62.997653°
E 13.587341°		 →
↑
138.63 m
↓
↑
138.63 m
↓
S 62.998899°
E 13.584595°		 ← 138.64 m →
19 220 m²		 S 62.998899°
E 13.587341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537738800048828 y=0.727069854736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537738800048828 × 217)
    floor (0.537738800048828 × 131072)
    floor (70482.5)     		tx = 70482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727069854736328 × 217)
    floor (0.727069854736328 × 131072)
    floor (95298.5)     		ty = 95298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70482 / 95298 ti = "17/70482/95298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70482/95298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70482 ÷ 217
    70482 ÷ 131072     		x = 0.537734985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95298 ÷ 217
    95298 ÷ 131072     		y = 0.727066040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537734985351562 × 2 - 1) × π
    0.075469970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23709591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727066040039062 × 2 - 1) × π
    -0.454132080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42669800649211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23709591} λ = 0.23709591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42669800649211))-π/2
    2×atan(0.240100424800378)-π/2
    2×0.23563993392767-π/2
    0.47127986785534-1.57079632675     		φ = -1.09951646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23709591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.584595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09951646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.997653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70482 KachelY 95298 0.23709591 -1.09951646 13.584595 -62.997653
    Oben rechts KachelX + 1 70483 KachelY 95298 0.23714384 -1.09951646 13.587341 -62.997653
    Unten links KachelX 70482 KachelY + 1 95299 0.23709591 -1.09953822 13.584595 -62.998899
    Unten rechts KachelX + 1 70483 KachelY + 1 95299 0.23714384 -1.09953822 13.587341 -62.998899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09951646--1.09953822) × R
    2.17599999998708e-05 × 6371000     		dl = 138.632959999177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09951646--1.09953822) × R
    2.17599999998708e-05 × 6371000     		dr = 138.632959999177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23709591-0.23714384) × cos(-1.09951646) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.454027002787804 × 6371000     		do = 138.642607246104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23709591-0.23714384) × cos(-1.09953822) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.454007614783089 × 6371000     		du = 138.636686885627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09951646)-sin(-1.09953822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454027002787804-0.454007614783089)×R²
    abs(0.23714384-0.23709591)×1.93880047152373e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.93880047152373e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.93880047152373e-05×40589641000000     		ar = 19220.0246468264m²