Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70481 / 96750
↖ ↑ ↗
← S 64.753047°
E 13.581848°		 ← 130.27 m → S 64.753047°
E 13.584595°		 →
↑
130.29 m
↓
↑
130.29 m
↓
S 64.754219°
E 13.581848°		 ← 130.26 m →
16 972 m²		 S 64.754219°
E 13.584595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537731170654297 y=0.738147735595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537731170654297 × 217)
    floor (0.537731170654297 × 131072)
    floor (70481.5)     		tx = 70481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738147735595703 × 217)
    floor (0.738147735595703 × 131072)
    floor (96750.5)     		ty = 96750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70481 / 96750 ti = "17/70481/96750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70481/96750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70481 ÷ 217
    70481 ÷ 131072     		x = 0.537727355957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96750 ÷ 217
    96750 ÷ 131072     		y = 0.738143920898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537727355957031 × 2 - 1) × π
    0.0754547119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23704797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738143920898438 × 2 - 1) × π
    -0.476287841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49630238474043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23704797} λ = 0.23704797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49630238474043))-π/2
    2×atan(0.223956736873048)-π/2
    2×0.22032122790372-π/2
    0.440642455807441-1.57079632675     		φ = -1.13015387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23704797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.581848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13015387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.753047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70481 KachelY 96750 0.23704797 -1.13015387 13.581848 -64.753047
    Oben rechts KachelX + 1 70482 KachelY 96750 0.23709591 -1.13015387 13.584595 -64.753047
    Unten links KachelX 70481 KachelY + 1 96751 0.23704797 -1.13017432 13.581848 -64.754219
    Unten rechts KachelX + 1 70482 KachelY + 1 96751 0.23709591 -1.13017432 13.584595 -64.754219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13015387--1.13017432) × R
    2.04500000000607e-05 × 6371000     		dl = 130.286950000387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13015387--1.13017432) × R
    2.04500000000607e-05 × 6371000     		dr = 130.286950000387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23704797-0.23709591) × cos(-1.13015387) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426520640976333 × 6371000     		do = 130.270382395461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23704797-0.23709591) × cos(-1.13017432) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426502144315549 × 6371000     		du = 130.264733039153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13015387)-sin(-1.13017432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426520640976333-0.426502144315549)×R²
    abs(0.23709591-0.23704797)×1.84966607840731e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84966607840731e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84966607840731e-05×40589641000000     		ar = 16972.1627794399m²