Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70481 / 95315
↖ ↑ ↗
← S 63.018844°
E 13.581848°		 ← 138.57 m → S 63.018844°
E 13.584595°		 →
↑
138.57 m
↓
↑
138.57 m
↓
S 63.020090°
E 13.581848°		 ← 138.56 m →
19 201 m²		 S 63.020090°
E 13.584595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537731170654297 y=0.727199554443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537731170654297 × 217)
    floor (0.537731170654297 × 131072)
    floor (70481.5)     		tx = 70481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727199554443359 × 217)
    floor (0.727199554443359 × 131072)
    floor (95315.5)     		ty = 95315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70481 / 95315 ti = "17/70481/95315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70481/95315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70481 ÷ 217
    70481 ÷ 131072     		x = 0.537727355957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95315 ÷ 217
    95315 ÷ 131072     		y = 0.727195739746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537727355957031 × 2 - 1) × π
    0.0754547119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23704797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727195739746094 × 2 - 1) × π
    -0.454391479492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.42751293378565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23704797} λ = 0.23704797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42751293378565))-π/2
    2×atan(0.239904840115491)-π/2
    2×0.23545500158014-π/2
    0.470910003160279-1.57079632675     		φ = -1.09988632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23704797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.581848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09988632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.018844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70481 KachelY 95315 0.23704797 -1.09988632 13.581848 -63.018844
    Oben rechts KachelX + 1 70482 KachelY 95315 0.23709591 -1.09988632 13.584595 -63.018844
    Unten links KachelX 70481 KachelY + 1 95316 0.23704797 -1.09990807 13.581848 -63.020090
    Unten rechts KachelX + 1 70482 KachelY + 1 95316 0.23709591 -1.09990807 13.584595 -63.020090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09988632--1.09990807) × R
    2.17499999999315e-05 × 6371000     		dl = 138.569249999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09988632--1.09990807) × R
    2.17499999999315e-05 × 6371000     		dr = 138.569249999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23704797-0.23709591) × cos(-1.09988632) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.453697430947107 × 6371000     		do = 138.570873583109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23704797-0.23709591) × cos(-1.09990807) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.453678048201374 × 6371000     		du = 138.56495359365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09988632)-sin(-1.09990807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453697430947107-0.453678048201374)×R²
    abs(0.23709591-0.23704797)×1.93827457335427e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93827457335427e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93827457335427e-05×40589641000000     		ar = 19201.2518607245m²