Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70478 / 95306
↖ ↑ ↗
← S 63.007627°
E 13.573609°		 ← 138.60 m → S 63.007627°
E 13.576355°		 →
↑
138.57 m
↓
↑
138.57 m
↓
S 63.008873°
E 13.573609°		 ← 138.59 m →
19 205 m²		 S 63.008873°
E 13.576355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537708282470703 y=0.727130889892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537708282470703 × 217)
    floor (0.537708282470703 × 131072)
    floor (70478.5)     		tx = 70478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727130889892578 × 217)
    floor (0.727130889892578 × 131072)
    floor (95306.5)     		ty = 95306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70478 / 95306 ti = "17/70478/95306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70478/95306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70478 ÷ 217
    70478 ÷ 131072     		x = 0.537704467773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95306 ÷ 217
    95306 ÷ 131072     		y = 0.727127075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537704467773438 × 2 - 1) × π
    0.075408935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23690416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727127075195312 × 2 - 1) × π
    -0.454254150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42708150168907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23690416} λ = 0.23690416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42708150168907))-π/2
    2×atan(0.240008365094035)-π/2
    2×0.235552890212312-π/2
    0.471105780424623-1.57079632675     		φ = -1.09969055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23690416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.573609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09969055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.007627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70478 KachelY 95306 0.23690416 -1.09969055 13.573609 -63.007627
    Oben rechts KachelX + 1 70479 KachelY 95306 0.23695209 -1.09969055 13.576355 -63.007627
    Unten links KachelX 70478 KachelY + 1 95307 0.23690416 -1.09971230 13.573609 -63.008873
    Unten rechts KachelX + 1 70479 KachelY + 1 95307 0.23695209 -1.09971230 13.576355 -63.008873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09969055--1.09971230) × R
    2.17499999999315e-05 × 6371000     		dl = 138.569249999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09969055--1.09971230) × R
    2.17499999999315e-05 × 6371000     		dr = 138.569249999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23690416-0.23695209) × cos(-1.09969055) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.453871883820723 × 6371000     		do = 138.595239803425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23690416-0.23695209) × cos(-1.09971230) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.453852503007162 × 6371000     		du = 138.589321638853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09969055)-sin(-1.09971230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453871883820723-0.453852503007162)×R²
    abs(0.23695209-0.23690416)×1.93808135608986e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.93808135608986e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.93808135608986e-05×40589641000000     		ar = 19204.6283960862m²