Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70478 / 95304
↖ ↑ ↗
← S 63.005134°
E 13.573609°		 ← 138.61 m → S 63.005134°
E 13.576355°		 →
↑
138.63 m
↓
↑
138.63 m
↓
S 63.006381°
E 13.573609°		 ← 138.60 m →
19 215 m²		 S 63.006381°
E 13.576355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537708282470703 y=0.727115631103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537708282470703 × 217)
    floor (0.537708282470703 × 131072)
    floor (70478.5)     		tx = 70478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727115631103516 × 217)
    floor (0.727115631103516 × 131072)
    floor (95304.5)     		ty = 95304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70478 / 95304 ti = "17/70478/95304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70478/95304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70478 ÷ 217
    70478 ÷ 131072     		x = 0.537704467773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95304 ÷ 217
    95304 ÷ 131072     		y = 0.72711181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537704467773438 × 2 - 1) × π
    0.075408935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23690416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72711181640625 × 2 - 1) × π
    -0.4542236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42698562788983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23690416} λ = 0.23690416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42698562788983))-π/2
    2×atan(0.240031376710934)-π/2
    2×0.23557464835278-π/2
    0.471149296705561-1.57079632675     		φ = -1.09964703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23690416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.573609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09964703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.005134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70478 KachelY 95304 0.23690416 -1.09964703 13.573609 -63.005134
    Oben rechts KachelX + 1 70479 KachelY 95304 0.23695209 -1.09964703 13.576355 -63.005134
    Unten links KachelX 70478 KachelY + 1 95305 0.23690416 -1.09966879 13.573609 -63.006381
    Unten rechts KachelX + 1 70479 KachelY + 1 95305 0.23695209 -1.09966879 13.576355 -63.006381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09964703--1.09966879) × R
    2.17599999998708e-05 × 6371000     		dl = 138.632959999177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09964703--1.09966879) × R
    2.17599999998708e-05 × 6371000     		dr = 138.632959999177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23690416-0.23695209) × cos(-1.09964703) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.45391066262465 × 6371000     		do = 138.607081377713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23690416-0.23695209) × cos(-1.09966879) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.453891273330145 × 6371000     		du = 138.601160623382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09964703)-sin(-1.09966879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45391066262465-0.453891273330145)×R²
    abs(0.23695209-0.23690416)×1.93892945054008e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.93892945054008e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.93892945054008e-05×40589641000000     		ar = 19215.0995633009m²