Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70471 / 95343
↖ ↑ ↗
← S 63.053715°
E 13.554382°		 ← 138.41 m → S 63.053715°
E 13.557129°		 →
↑
138.38 m
↓
↑
138.38 m
↓
S 63.054959°
E 13.554382°		 ← 138.40 m →
19 152 m²		 S 63.054959°
E 13.557129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537654876708984 y=0.727413177490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537654876708984 × 217)
    floor (0.537654876708984 × 131072)
    floor (70471.5)     		tx = 70471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727413177490234 × 217)
    floor (0.727413177490234 × 131072)
    floor (95343.5)     		ty = 95343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70471 / 95343 ti = "17/70471/95343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70471/95343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70471 ÷ 217
    70471 ÷ 131072     		x = 0.537651062011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95343 ÷ 217
    95343 ÷ 131072     		y = 0.727409362792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537651062011719 × 2 - 1) × π
    0.0753021240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23656860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727409362792969 × 2 - 1) × π
    -0.454818725585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.42885516697501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23656860} λ = 0.23656860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42885516697501))-π/2
    2×atan(0.239583047885217)-π/2
    2×0.235150699756146-π/2
    0.470301399512292-1.57079632675     		φ = -1.10049493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23656860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.554382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10049493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.053715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70471 KachelY 95343 0.23656860 -1.10049493 13.554382 -63.053715
    Oben rechts KachelX + 1 70472 KachelY 95343 0.23661654 -1.10049493 13.557129 -63.053715
    Unten links KachelX 70471 KachelY + 1 95344 0.23656860 -1.10051665 13.554382 -63.054959
    Unten rechts KachelX + 1 70472 KachelY + 1 95344 0.23661654 -1.10051665 13.557129 -63.054959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10049493--1.10051665) × R
    2.17200000001139e-05 × 6371000     		dl = 138.378120000725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10049493--1.10051665) × R
    2.17200000001139e-05 × 6371000     		dr = 138.378120000725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23656860-0.23661654) × cos(-1.10049493) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.453154980629392 × 6371000     		do = 138.405195293407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23656860-0.23661654) × cos(-1.10051665) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.453135618624911 × 6371000     		du = 138.39928163886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10049493)-sin(-1.10051665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453154980629392-0.453135618624911)×R²
    abs(0.23661654-0.23656860)×1.936200448166e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.936200448166e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.936200448166e-05×40589641000000     		ar = 19151.8415636906m²