Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70468 / 95492
↖ ↑ ↗
← S 63.238575°
E 13.546143°		 ← 137.53 m → S 63.238575°
E 13.548889°		 →
↑
137.55 m
↓
↑
137.55 m
↓
S 63.239812°
E 13.546143°		 ← 137.52 m →
18 916 m²		 S 63.239812°
E 13.548889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537631988525391 y=0.728549957275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537631988525391 × 217)
    floor (0.537631988525391 × 131072)
    floor (70468.5)     		tx = 70468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728549957275391 × 217)
    floor (0.728549957275391 × 131072)
    floor (95492.5)     		ty = 95492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70468 / 95492 ti = "17/70468/95492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70468/95492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70468 ÷ 217
    70468 ÷ 131072     		x = 0.537628173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95492 ÷ 217
    95492 ÷ 131072     		y = 0.728546142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537628173828125 × 2 - 1) × π
    0.07525634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23642479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728546142578125 × 2 - 1) × π
    -0.45709228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4359977650184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23642479} λ = 0.23642479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4359977650184))-π/2
    2×atan(0.237877899320812)-π/2
    2×0.233537491830035-π/2
    0.46707498366007-1.57079632675     		φ = -1.10372134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23642479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.546143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10372134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.238575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70468 KachelY 95492 0.23642479 -1.10372134 13.546143 -63.238575
    Oben rechts KachelX + 1 70469 KachelY 95492 0.23647273 -1.10372134 13.548889 -63.238575
    Unten links KachelX 70468 KachelY + 1 95493 0.23642479 -1.10374293 13.546143 -63.239812
    Unten rechts KachelX + 1 70469 KachelY + 1 95493 0.23647273 -1.10374293 13.548889 -63.239812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10372134--1.10374293) × R
    2.15899999997937e-05 × 6371000     		dl = 137.549889998686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10372134--1.10374293) × R
    2.15899999997937e-05 × 6371000     		dr = 137.549889998686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23642479-0.23647273) × cos(-1.10372134) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.450276502702783 × 6371000     		do = 137.526034042599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23642479-0.23647273) × cos(-1.10374293) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.450257225120647 × 6371000     		du = 137.520146172809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10372134)-sin(-1.10374293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450276502702783-0.450257225120647)×R²
    abs(0.23647273-0.23642479)×1.92775821364899e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.92775821364899e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.92775821364899e-05×40589641000000     		ar = 18916.2859173605m²