Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70463 / 95484
↖ ↑ ↗
← S 63.228679°
E 13.532409°		 ← 137.57 m → S 63.228679°
E 13.535156°		 →
↑
137.61 m
↓
↑
137.61 m
↓
S 63.229917°
E 13.532409°		 ← 137.57 m →
18 932 m²		 S 63.229917°
E 13.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537593841552734 y=0.728488922119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537593841552734 × 217)
    floor (0.537593841552734 × 131072)
    floor (70463.5)     		tx = 70463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728488922119141 × 217)
    floor (0.728488922119141 × 131072)
    floor (95484.5)     		ty = 95484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70463 / 95484 ti = "17/70463/95484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70463/95484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70463 ÷ 217
    70463 ÷ 131072     		x = 0.537590026855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95484 ÷ 217
    95484 ÷ 131072     		y = 0.728485107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537590026855469 × 2 - 1) × π
    0.0751800537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23618510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728485107421875 × 2 - 1) × π
    -0.45697021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.43561426982144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23618510} λ = 0.23618510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43561426982144))-π/2
    2×atan(0.237969141847081)-π/2
    2×0.233623846050921-π/2
    0.467247692101842-1.57079632675     		φ = -1.10354863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23618510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.532409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10354863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.228679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70463 KachelY 95484 0.23618510 -1.10354863 13.532409 -63.228679
    Oben rechts KachelX + 1 70464 KachelY 95484 0.23623304 -1.10354863 13.535156 -63.228679
    Unten links KachelX 70463 KachelY + 1 95485 0.23618510 -1.10357023 13.532409 -63.229917
    Unten rechts KachelX + 1 70464 KachelY + 1 95485 0.23623304 -1.10357023 13.535156 -63.229917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10354863--1.10357023) × R
    2.1600000000177e-05 × 6371000     		dl = 137.613600001128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10354863--1.10357023) × R
    2.1600000000177e-05 × 6371000     		dr = 137.613600001128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23618510-0.23623304) × cos(-1.10354863) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.450430706875093 × 6371000     		do = 137.573131966038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23618510-0.23623304) × cos(-1.10357023) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.450411422043992 × 6371000     		du = 137.567241882228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10354863)-sin(-1.10357023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450430706875093-0.450411422043992)×R²
    abs(0.23623304-0.23618510)×1.92848311014182e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.92848311014182e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.92848311014182e-05×40589641000000     		ar = 18931.5286761272m²