Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70462 / 95558
↖ ↑ ↗
← S 63.320083°
E 13.529663°		 ← 137.11 m → S 63.320083°
E 13.532409°		 →
↑
137.17 m
↓
↑
137.17 m
↓
S 63.321317°
E 13.529663°		 ← 137.10 m →
18 807 m²		 S 63.321317°
E 13.532409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537586212158203 y=0.729053497314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537586212158203 × 217)
    floor (0.537586212158203 × 131072)
    floor (70462.5)     		tx = 70462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729053497314453 × 217)
    floor (0.729053497314453 × 131072)
    floor (95558.5)     		ty = 95558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70462 / 95558 ti = "17/70462/95558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70462/95558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70462 ÷ 217
    70462 ÷ 131072     		x = 0.537582397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95558 ÷ 217
    95558 ÷ 131072     		y = 0.729049682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537582397460938 × 2 - 1) × π
    0.075164794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23613717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729049682617188 × 2 - 1) × π
    -0.458099365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.43916160039333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23613717} λ = 0.23613717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43916160039333))-π/2
    2×atan(0.237126482114995)-π/2
    2×0.232826196871939-π/2
    0.465652393743877-1.57079632675     		φ = -1.10514393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23613717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.529663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10514393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.320083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70462 KachelY 95558 0.23613717 -1.10514393 13.529663 -63.320083
    Oben rechts KachelX + 1 70463 KachelY 95558 0.23618510 -1.10514393 13.532409 -63.320083
    Unten links KachelX 70462 KachelY + 1 95559 0.23613717 -1.10516546 13.529663 -63.321317
    Unten rechts KachelX + 1 70463 KachelY + 1 95559 0.23618510 -1.10516546 13.532409 -63.321317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10514393--1.10516546) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dl = 137.167629999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10514393--1.10516546) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dr = 137.167629999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23613717-0.23618510) × cos(-1.10514393) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.449005832299674 × 6371000     		do = 137.109332432872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23613717-0.23618510) × cos(-1.10516546) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.448986594519989 × 6371000     		du = 137.103457945415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10514393)-sin(-1.10516546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449005832299674-0.448986594519989)×R²
    abs(0.23618510-0.23613717)×1.92377796845444e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.92377796845444e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.92377796845444e-05×40589641000000     		ar = 18806.5592865635m²