Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70462 / 95485
↖ ↑ ↗
← S 63.229917°
E 13.529663°		 ← 137.54 m → S 63.229917°
E 13.532409°		 →
↑
137.55 m
↓
↑
137.55 m
↓
S 63.231154°
E 13.529663°		 ← 137.53 m →
18 918 m²		 S 63.231154°
E 13.532409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537586212158203 y=0.728496551513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537586212158203 × 217)
    floor (0.537586212158203 × 131072)
    floor (70462.5)     		tx = 70462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728496551513672 × 217)
    floor (0.728496551513672 × 131072)
    floor (95485.5)     		ty = 95485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70462 / 95485 ti = "17/70462/95485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70462/95485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70462 ÷ 217
    70462 ÷ 131072     		x = 0.537582397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95485 ÷ 217
    95485 ÷ 131072     		y = 0.728492736816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537582397460938 × 2 - 1) × π
    0.075164794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23613717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728492736816406 × 2 - 1) × π
    -0.456985473632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.43566220672106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23613717} λ = 0.23613717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43566220672106))-π/2
    2×atan(0.237957734617632)-π/2
    2×0.233613050156258-π/2
    0.467226100312516-1.57079632675     		φ = -1.10357023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23613717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.529663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10357023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.229917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70462 KachelY 95485 0.23613717 -1.10357023 13.529663 -63.229917
    Oben rechts KachelX + 1 70463 KachelY 95485 0.23618510 -1.10357023 13.532409 -63.229917
    Unten links KachelX 70462 KachelY + 1 95486 0.23613717 -1.10359182 13.529663 -63.231154
    Unten rechts KachelX + 1 70463 KachelY + 1 95486 0.23618510 -1.10359182 13.532409 -63.231154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10357023--1.10359182) × R
    2.15899999997937e-05 × 6371000     		dl = 137.549889998686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10357023--1.10359182) × R
    2.15899999997937e-05 × 6371000     		dr = 137.549889998686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23613717-0.23618510) × cos(-1.10357023) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.450411422043992 × 6371000     		do = 137.538546170545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23613717-0.23618510) × cos(-1.10359182) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.450392145931055 × 6371000     		du = 137.532659977568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10357023)-sin(-1.10359182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450411422043992-0.450392145931055)×R²
    abs(0.23618510-0.23613717)×1.92761129365615e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.92761129365615e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.92761129365615e-05×40589641000000     		ar = 18918.0070745455m²