Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70462 / 95291
↖ ↑ ↗
← S 62.988922°
E 13.529663°		 ← 138.68 m → S 62.988922°
E 13.532409°		 →
↑
138.70 m
↓
↑
138.70 m
↓
S 62.990169°
E 13.529663°		 ← 138.68 m →
19 235 m²		 S 62.990169°
E 13.532409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537586212158203 y=0.727016448974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537586212158203 × 217)
    floor (0.537586212158203 × 131072)
    floor (70462.5)     		tx = 70462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727016448974609 × 217)
    floor (0.727016448974609 × 131072)
    floor (95291.5)     		ty = 95291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70462 / 95291 ti = "17/70462/95291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70462/95291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70462 ÷ 217
    70462 ÷ 131072     		x = 0.537582397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95291 ÷ 217
    95291 ÷ 131072     		y = 0.727012634277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537582397460938 × 2 - 1) × π
    0.075164794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23613717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727012634277344 × 2 - 1) × π
    -0.454025268554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.42636244819477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23613717} λ = 0.23613717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42636244819477))-π/2
    2×atan(0.240181006009206)-π/2
    2×0.235716121580198-π/2
    0.471432243160397-1.57079632675     		φ = -1.09936408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23613717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.529663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09936408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.988922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70462 KachelY 95291 0.23613717 -1.09936408 13.529663 -62.988922
    Oben rechts KachelX + 1 70463 KachelY 95291 0.23618510 -1.09936408 13.532409 -62.988922
    Unten links KachelX 70462 KachelY + 1 95292 0.23613717 -1.09938585 13.529663 -62.990169
    Unten rechts KachelX + 1 70463 KachelY + 1 95292 0.23618510 -1.09938585 13.532409 -62.990169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09936408--1.09938585) × R
    2.1770000000032e-05 × 6371000     		dl = 138.696670000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09936408--1.09938585) × R
    2.1770000000032e-05 × 6371000     		dr = 138.696670000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23613717-0.23618510) × cos(-1.09936408) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.454162766255962 × 6371000     		do = 138.684064254341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23613717-0.23618510) × cos(-1.09938585) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.454143370847611 × 6371000     		du = 138.678141633074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09936408)-sin(-1.09938585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454162766255962-0.454143370847611)×R²
    abs(0.23618510-0.23613717)×1.93954083509418e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.93954083509418e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.93954083509418e-05×40589641000000     		ar = 19234.6071709498m²