Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70461 / 95557
↖ ↑ ↗
← S 63.318850°
E 13.526916°		 ← 137.14 m → S 63.318850°
E 13.529663°		 →
↑
137.10 m
↓
↑
137.10 m
↓
S 63.320083°
E 13.526916°		 ← 137.14 m →
18 803 m²		 S 63.320083°
E 13.529663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537578582763672 y=0.729045867919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537578582763672 × 217)
    floor (0.537578582763672 × 131072)
    floor (70461.5)     		tx = 70461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729045867919922 × 217)
    floor (0.729045867919922 × 131072)
    floor (95557.5)     		ty = 95557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70461 / 95557 ti = "17/70461/95557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70461/95557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70461 ÷ 217
    70461 ÷ 131072     		x = 0.537574768066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95557 ÷ 217
    95557 ÷ 131072     		y = 0.729042053222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537574768066406 × 2 - 1) × π
    0.0751495361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23608923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729042053222656 × 2 - 1) × π
    -0.458084106445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.43911366349371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23608923} λ = 0.23608923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43911366349371))-π/2
    2×atan(0.237137849495821)-π/2
    2×0.232836959076115-π/2
    0.465673918152231-1.57079632675     		φ = -1.10512241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23608923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.526916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10512241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.318850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70461 KachelY 95557 0.23608923 -1.10512241 13.526916 -63.318850
    Oben rechts KachelX + 1 70462 KachelY 95557 0.23613717 -1.10512241 13.529663 -63.318850
    Unten links KachelX 70461 KachelY + 1 95558 0.23608923 -1.10514393 13.526916 -63.320083
    Unten rechts KachelX + 1 70462 KachelY + 1 95558 0.23613717 -1.10514393 13.529663 -63.320083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10512241--1.10514393) × R
    2.15199999999971e-05 × 6371000     		dl = 137.103919999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10512241--1.10514393) × R
    2.15199999999971e-05 × 6371000     		dr = 137.103919999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23608923-0.23613717) × cos(-1.10512241) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.449025060936034 × 6371000     		do = 137.143811514923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23608923-0.23613717) × cos(-1.10514393) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.449005832299674 × 6371000     		du = 137.137938594433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10512241)-sin(-1.10514393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449025060936034-0.449005832299674)×R²
    abs(0.23613717-0.23608923)×1.92286363603911e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.92286363603911e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.92286363603911e-05×40589641000000     		ar = 18802.5515630888m²