Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70461 / 95294
↖ ↑ ↗
← S 62.992664°
E 13.526916°		 ← 138.70 m → S 62.992664°
E 13.529663°		 →
↑
138.70 m
↓
↑
138.70 m
↓
S 62.993911°
E 13.526916°		 ← 138.69 m →
19 236 m²		 S 62.993911°
E 13.529663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537578582763672 y=0.727039337158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537578582763672 × 217)
    floor (0.537578582763672 × 131072)
    floor (70461.5)     		tx = 70461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727039337158203 × 217)
    floor (0.727039337158203 × 131072)
    floor (95294.5)     		ty = 95294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70461 / 95294 ti = "17/70461/95294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70461/95294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70461 ÷ 217
    70461 ÷ 131072     		x = 0.537574768066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95294 ÷ 217
    95294 ÷ 131072     		y = 0.727035522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537574768066406 × 2 - 1) × π
    0.0751495361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23608923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727035522460938 × 2 - 1) × π
    -0.454071044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42650625889363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23608923} λ = 0.23608923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42650625889363))-π/2
    2×atan(0.240146467894413)-π/2
    2×0.235683466940009-π/2
    0.471366933880018-1.57079632675     		φ = -1.09942939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23608923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.526916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09942939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.992664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70461 KachelY 95294 0.23608923 -1.09942939 13.526916 -62.992664
    Oben rechts KachelX + 1 70462 KachelY 95294 0.23613717 -1.09942939 13.529663 -62.992664
    Unten links KachelX 70461 KachelY + 1 95295 0.23608923 -1.09945116 13.526916 -62.993911
    Unten rechts KachelX + 1 70462 KachelY + 1 95295 0.23613717 -1.09945116 13.529663 -62.993911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09942939--1.09945116) × R
    2.1770000000032e-05 × 6371000     		dl = 138.696670000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09942939--1.09945116) × R
    2.1770000000032e-05 × 6371000     		dr = 138.696670000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23608923-0.23613717) × cos(-1.09942939) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.454104579385218 × 6371000     		do = 138.695227196108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23608923-0.23613717) × cos(-1.09945116) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.454085183331195 × 6371000     		du = 138.689303141955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09942939)-sin(-1.09945116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454104579385218-0.454085183331195)×R²
    abs(0.23613717-0.23608923)×1.93960540237903e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93960540237903e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93960540237903e-05×40589641000000     		ar = 19236.1553343m²