Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70460 / 95300
↖ ↑ ↗
← S 63.000147°
E 13.524170°		 ← 138.66 m → S 63.000147°
E 13.526916°		 →
↑
138.63 m
↓
↑
138.63 m
↓
S 63.001394°
E 13.524170°		 ← 138.65 m →
19 222 m²		 S 63.001394°
E 13.526916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537570953369141 y=0.727085113525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537570953369141 × 217)
    floor (0.537570953369141 × 131072)
    floor (70460.5)     		tx = 70460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727085113525391 × 217)
    floor (0.727085113525391 × 131072)
    floor (95300.5)     		ty = 95300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70460 / 95300 ti = "17/70460/95300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70460/95300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70460 ÷ 217
    70460 ÷ 131072     		x = 0.537567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95300 ÷ 217
    95300 ÷ 131072     		y = 0.727081298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537567138671875 × 2 - 1) × π
    0.07513427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23604129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727081298828125 × 2 - 1) × π
    -0.45416259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42679388029135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23604129} λ = 0.23604129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42679388029135))-π/2
    2×atan(0.240077406563894)-π/2
    2×0.235618170210342-π/2
    0.471236340420684-1.57079632675     		φ = -1.09955999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23604129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.524170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09955999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.000147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70460 KachelY 95300 0.23604129 -1.09955999 13.524170 -63.000147
    Oben rechts KachelX + 1 70461 KachelY 95300 0.23608923 -1.09955999 13.526916 -63.000147
    Unten links KachelX 70460 KachelY + 1 95301 0.23604129 -1.09958175 13.524170 -63.001394
    Unten rechts KachelX + 1 70461 KachelY + 1 95301 0.23608923 -1.09958175 13.526916 -63.001394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09955999--1.09958175) × R
    2.17600000000928e-05 × 6371000     		dl = 138.632960000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09955999--1.09958175) × R
    2.17600000000928e-05 × 6371000     		dr = 138.632960000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23604129-0.23608923) × cos(-1.09955999) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.453988217653325 × 6371000     		do = 138.659687328117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23604129-0.23608923) × cos(-1.09958175) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.453968829218577 × 6371000     		du = 138.653765601087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09955999)-sin(-1.09958175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453988217653325-0.453968829218577)×R²
    abs(0.23608923-0.23604129)×1.93884347480799e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93884347480799e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93884347480799e-05×40589641000000     		ar = 19222.392414384m²