Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7046 / 10869
↖ ↑ ↗
← S 50.583237°
W 25.180664°		 ← 1 551.38 m → S 50.583237°
W 25.158691°		 →
↑
1 551.08 m
↓
↑
1 551.08 m
↓
S 50.597186°
W 25.180664°		 ← 1 550.92 m →
2 405 957 m²		 S 50.597186°
W 25.158691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430084228515625 y=0.663421630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430084228515625 × 214)
    floor (0.430084228515625 × 16384)
    floor (7046.5)     		tx = 7046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663421630859375 × 214)
    floor (0.663421630859375 × 16384)
    floor (10869.5)     		ty = 10869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7046 / 10869 ti = "14/7046/10869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7046/10869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7046 ÷ 214
    7046 ÷ 16384     		x = 0.4300537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10869 ÷ 214
    10869 ÷ 16384     		y = 0.66339111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4300537109375 × 2 - 1) × π
    -0.139892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43948550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66339111328125 × 2 - 1) × π
    -0.3267822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.02661664226312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43948550} λ = -0.43948550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02661664226312))-π/2
    2×atan(0.358216888486617)-π/2
    2×0.343976150784907-π/2
    0.687952301569815-1.57079632675     		φ = -0.88284403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43948550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.180664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88284403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.583237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7046 KachelY 10869 -0.43948550 -0.88284403 -25.180664 -50.583237
    Oben rechts KachelX + 1 7047 KachelY 10869 -0.43910200 -0.88284403 -25.158691 -50.583237
    Unten links KachelX 7046 KachelY + 1 10870 -0.43948550 -0.88308749 -25.180664 -50.597186
    Unten rechts KachelX + 1 7047 KachelY + 1 10870 -0.43910200 -0.88308749 -25.158691 -50.597186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88284403--0.88308749) × R
    0.000243459999999973 × 6371000     		dl = 1551.08365999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88284403--0.88308749) × R
    0.000243459999999973 × 6371000     		dr = 1551.08365999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43948550--0.43910200) × cos(-0.88284403) × R
    0.000383499999999981 × 0.634956565860937 × 6371000     		do = 1551.37572580179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43948550--0.43910200) × cos(-0.88308749) × R
    0.000383499999999981 × 0.634768462548737 × 6371000     		du = 1550.91613702331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88284403)-sin(-0.88308749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634956565860937-0.634768462548737)×R²
    abs(-0.43910200--0.43948550)×0.000188103312200649×R²
    0.000383499999999981×0.000188103312200649×6371000²
    0.000383499999999981×0.000188103312200649×40589641000000     		ar = 2405957.12037362m²