Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70458 / 95553
↖ ↑ ↗
← S 63.313916°
E 13.518677°		 ← 137.17 m → S 63.313916°
E 13.521424°		 →
↑
137.17 m
↓
↑
137.17 m
↓
S 63.315150°
E 13.518677°		 ← 137.16 m →
18 815 m²		 S 63.315150°
E 13.521424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537555694580078 y=0.729015350341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537555694580078 × 217)
    floor (0.537555694580078 × 131072)
    floor (70458.5)     		tx = 70458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729015350341797 × 217)
    floor (0.729015350341797 × 131072)
    floor (95553.5)     		ty = 95553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70458 / 95553 ti = "17/70458/95553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70458/95553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70458 ÷ 217
    70458 ÷ 131072     		x = 0.537551879882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95553 ÷ 217
    95553 ÷ 131072     		y = 0.729011535644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537551879882812 × 2 - 1) × π
    0.075103759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23594542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729011535644531 × 2 - 1) × π
    -0.458023071289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.43892191589523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23594542} λ = 0.23594542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43892191589523))-π/2
    2×atan(0.23718332446869)-π/2
    2×0.232880012502794-π/2
    0.465760025005588-1.57079632675     		φ = -1.10503630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23594542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.518677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10503630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.313916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70458 KachelY 95553 0.23594542 -1.10503630 13.518677 -63.313916
    Oben rechts KachelX + 1 70459 KachelY 95553 0.23599336 -1.10503630 13.521424 -63.313916
    Unten links KachelX 70458 KachelY + 1 95554 0.23594542 -1.10505783 13.518677 -63.315150
    Unten rechts KachelX + 1 70459 KachelY + 1 95554 0.23599336 -1.10505783 13.521424 -63.315150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10503630--1.10505783) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dl = 137.167629999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10503630--1.10505783) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dr = 137.167629999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23594542-0.23599336) × cos(-1.10503630) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.44910200020632 × 6371000     		do = 137.167310748564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23594542-0.23599336) × cos(-1.10505783) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.449082763467194 × 6371000     		du = 137.161435353282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10503630)-sin(-1.10505783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44910200020632-0.449082763467194)×R²
    abs(0.23599336-0.23594542)×1.92367391259052e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92367391259052e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92367391259052e-05×40589641000000     		ar = 18814.5119724159m²