Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70455 / 95503
↖ ↑ ↗
← S 63.252175°
E 13.510437°		 ← 137.46 m → S 63.252175°
E 13.513184°		 →
↑
137.42 m
↓
↑
137.42 m
↓
S 63.253411°
E 13.510437°		 ← 137.46 m →
18 890 m²		 S 63.253411°
E 13.513184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537532806396484 y=0.728633880615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537532806396484 × 217)
    floor (0.537532806396484 × 131072)
    floor (70455.5)     		tx = 70455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728633880615234 × 217)
    floor (0.728633880615234 × 131072)
    floor (95503.5)     		ty = 95503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70455 / 95503 ti = "17/70455/95503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70455/95503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70455 ÷ 217
    70455 ÷ 131072     		x = 0.537528991699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95503 ÷ 217
    95503 ÷ 131072     		y = 0.728630065917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537528991699219 × 2 - 1) × π
    0.0750579833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23580161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728630065917969 × 2 - 1) × π
    -0.457260131835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.43652507091422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23580161} λ = 0.23580161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43652507091422))-π/2
    2×atan(0.237752497967357)-π/2
    2×0.233418803047634-π/2
    0.466837606095269-1.57079632675     		φ = -1.10395872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23580161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.510437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10395872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.252175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70455 KachelY 95503 0.23580161 -1.10395872 13.510437 -63.252175
    Oben rechts KachelX + 1 70456 KachelY 95503 0.23584955 -1.10395872 13.513184 -63.252175
    Unten links KachelX 70455 KachelY + 1 95504 0.23580161 -1.10398029 13.510437 -63.253411
    Unten rechts KachelX + 1 70456 KachelY + 1 95504 0.23584955 -1.10398029 13.513184 -63.253411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10395872--1.10398029) × R
    2.15699999999153e-05 × 6371000     		dl = 137.42246999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10395872--1.10398029) × R
    2.15699999999153e-05 × 6371000     		dr = 137.42246999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23580161-0.23584955) × cos(-1.10395872) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.450064535987063 × 6371000     		do = 137.461293951595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23580161-0.23584955) × cos(-1.10398029) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.450045273957952 × 6371000     		du = 137.4554108321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10395872)-sin(-1.10398029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450064535987063-0.450045273957952)×R²
    abs(0.23584955-0.23580161)×1.92620291116774e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.92620291116774e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.92620291116774e-05×40589641000000     		ar = 18889.8663083505m²