Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70455 / 95501
↖ ↑ ↗
← S 63.249703°
E 13.510437°		 ← 137.47 m → S 63.249703°
E 13.513184°		 →
↑
137.49 m
↓
↑
137.49 m
↓
S 63.250940°
E 13.510437°		 ← 137.47 m →
18 900 m²		 S 63.250940°
E 13.513184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537532806396484 y=0.728618621826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537532806396484 × 217)
    floor (0.537532806396484 × 131072)
    floor (70455.5)     		tx = 70455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728618621826172 × 217)
    floor (0.728618621826172 × 131072)
    floor (95501.5)     		ty = 95501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70455 / 95501 ti = "17/70455/95501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70455/95501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70455 ÷ 217
    70455 ÷ 131072     		x = 0.537528991699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95501 ÷ 217
    95501 ÷ 131072     		y = 0.728614807128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537528991699219 × 2 - 1) × π
    0.0750579833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23580161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728614807128906 × 2 - 1) × π
    -0.457229614257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.43642919711498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23580161} λ = 0.23580161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43642919711498))-π/2
    2×atan(0.237775293295336)-π/2
    2×0.233440378669666-π/2
    0.466880757339333-1.57079632675     		φ = -1.10391557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23580161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.510437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10391557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.249703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70455 KachelY 95501 0.23580161 -1.10391557 13.510437 -63.249703
    Oben rechts KachelX + 1 70456 KachelY 95501 0.23584955 -1.10391557 13.513184 -63.249703
    Unten links KachelX 70455 KachelY + 1 95502 0.23580161 -1.10393715 13.510437 -63.250940
    Unten rechts KachelX + 1 70456 KachelY + 1 95502 0.23584955 -1.10393715 13.513184 -63.250940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10391557--1.10393715) × R
    2.15799999998545e-05 × 6371000     		dl = 137.486179999073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10391557--1.10393715) × R
    2.15799999998545e-05 × 6371000     		dr = 137.486179999073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23580161-0.23584955) × cos(-1.10391557) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.450103068346846 × 6371000     		do = 137.473062726096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23580161-0.23584955) × cos(-1.10393715) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.450083797806776 × 6371000     		du = 137.467177007134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10391557)-sin(-1.10393715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450103068346846-0.450083797806776)×R²
    abs(0.23584955-0.23580161)×1.92705400702819e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.92705400702819e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.92705400702819e-05×40589641000000     		ar = 18900.2416453109m²