Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70455 / 95497
↖ ↑ ↗
← S 63.244758°
E 13.510437°		 ← 137.50 m → S 63.244758°
E 13.513184°		 →
↑
137.49 m
↓
↑
137.49 m
↓
S 63.245994°
E 13.510437°		 ← 137.49 m →
18 903 m²		 S 63.245994°
E 13.513184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537532806396484 y=0.728588104248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537532806396484 × 217)
    floor (0.537532806396484 × 131072)
    floor (70455.5)     		tx = 70455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728588104248047 × 217)
    floor (0.728588104248047 × 131072)
    floor (95497.5)     		ty = 95497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70455 / 95497 ti = "17/70455/95497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70455/95497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70455 ÷ 217
    70455 ÷ 131072     		x = 0.537528991699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95497 ÷ 217
    95497 ÷ 131072     		y = 0.728584289550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537528991699219 × 2 - 1) × π
    0.0750579833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23580161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728584289550781 × 2 - 1) × π
    -0.457168579101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.4362374495165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23580161} λ = 0.23580161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4362374495165))-π/2
    2×atan(0.237820890508241)-π/2
    2×0.23348353545555-π/2
    0.466967070911101-1.57079632675     		φ = -1.10382926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23580161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.510437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10382926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.244758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70455 KachelY 95497 0.23580161 -1.10382926 13.510437 -63.244758
    Oben rechts KachelX + 1 70456 KachelY 95497 0.23584955 -1.10382926 13.513184 -63.244758
    Unten links KachelX 70455 KachelY + 1 95498 0.23580161 -1.10385084 13.510437 -63.245994
    Unten rechts KachelX + 1 70456 KachelY + 1 95498 0.23584955 -1.10385084 13.513184 -63.245994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10382926--1.10385084) × R
    2.15800000000765e-05 × 6371000     		dl = 137.486180000488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10382926--1.10385084) × R
    2.15800000000765e-05 × 6371000     		dr = 137.486180000488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23580161-0.23584955) × cos(-1.10382926) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.450180139481547 × 6371000     		do = 137.496602234444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23580161-0.23584955) × cos(-1.10385084) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.450160869779879 × 6371000     		du = 137.490716771553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10382926)-sin(-1.10385084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450180139481547-0.450160869779879)×R²
    abs(0.23584955-0.23580161)×1.92697016682675e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.92697016682675e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.92697016682675e-05×40589641000000     		ar = 18903.4780202056m²