Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70454 / 95496
↖ ↑ ↗
← S 63.243521°
E 13.507690°		 ← 137.50 m → S 63.243521°
E 13.510437°		 →
↑
137.49 m
↓
↑
137.49 m
↓
S 63.244758°
E 13.507690°		 ← 137.50 m →
18 904 m²		 S 63.244758°
E 13.510437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537525177001953 y=0.728580474853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537525177001953 × 217)
    floor (0.537525177001953 × 131072)
    floor (70454.5)     		tx = 70454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728580474853516 × 217)
    floor (0.728580474853516 × 131072)
    floor (95496.5)     		ty = 95496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70454 / 95496 ti = "17/70454/95496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70454/95496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70454 ÷ 217
    70454 ÷ 131072     		x = 0.537521362304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95496 ÷ 217
    95496 ÷ 131072     		y = 0.72857666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537521362304688 × 2 - 1) × π
    0.075042724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23575367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72857666015625 × 2 - 1) × π
    -0.4571533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43618951261688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23575367} λ = 0.23575367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43618951261688))-π/2
    2×atan(0.237832291177651)-π/2
    2×0.233494325806653-π/2
    0.466988651613307-1.57079632675     		φ = -1.10380768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23575367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.507690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10380768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.243521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70454 KachelY 95496 0.23575367 -1.10380768 13.507690 -63.243521
    Oben rechts KachelX + 1 70455 KachelY 95496 0.23580161 -1.10380768 13.510437 -63.243521
    Unten links KachelX 70454 KachelY + 1 95497 0.23575367 -1.10382926 13.507690 -63.244758
    Unten rechts KachelX + 1 70455 KachelY + 1 95497 0.23580161 -1.10382926 13.510437 -63.244758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10380768--1.10382926) × R
    2.15799999998545e-05 × 6371000     		dl = 137.486179999073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10380768--1.10382926) × R
    2.15799999998545e-05 × 6371000     		dr = 137.486179999073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23575367-0.23580161) × cos(-1.10380768) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.450199408973568 × 6371000     		do = 137.502487633304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23575367-0.23580161) × cos(-1.10382926) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.450180139481547 × 6371000     		du = 137.496602234444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10380768)-sin(-1.10382926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450199408973568-0.450180139481547)×R²
    abs(0.23580161-0.23575367)×1.92694920208569e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.92694920208569e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.92694920208569e-05×40589641000000     		ar = 18904.2871852207m²