Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7045 / 3715
↖ ↑ ↗
← N 69.634158°
W 25.202637°		 ← 850.27 m → N 69.634158°
W 25.180664°		 →
↑
850.40 m
↓
↑
850.40 m
↓
N 69.626510°
W 25.202637°		 ← 850.58 m →
723 201 m²		 N 69.626510°
W 25.180664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430023193359375 y=0.226776123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430023193359375 × 214)
    floor (0.430023193359375 × 16384)
    floor (7045.5)     		tx = 7045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226776123046875 × 214)
    floor (0.226776123046875 × 16384)
    floor (3715.5)     		ty = 3715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7045 / 3715 ti = "14/7045/3715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7045/3715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7045 ÷ 214
    7045 ÷ 16384     		x = 0.42999267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3715 ÷ 214
    3715 ÷ 16384     		y = 0.22674560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42999267578125 × 2 - 1) × π
    -0.1400146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43986899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22674560546875 × 2 - 1) × π
    0.5465087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71690799679193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43986899} λ = -0.43986899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71690799679193))-π/2
    2×atan(5.5672877522532)-π/2
    2×1.39307083063404-π/2
    2.78614166126808-1.57079632675     		φ = 1.21534533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43986899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.202637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21534533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.634158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7045 KachelY 3715 -0.43986899 1.21534533 -25.202637 69.634158
    Oben rechts KachelX + 1 7046 KachelY 3715 -0.43948550 1.21534533 -25.180664 69.634158
    Unten links KachelX 7045 KachelY + 1 3716 -0.43986899 1.21521185 -25.202637 69.626510
    Unten rechts KachelX + 1 7046 KachelY + 1 3716 -0.43948550 1.21521185 -25.180664 69.626510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21534533-1.21521185) × R
    0.000133479999999908 × 6371000     		dl = 850.401079999415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21534533-1.21521185) × R
    0.000133479999999908 × 6371000     		dr = 850.401079999415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43986899--0.43948550) × cos(1.21534533) × R
    0.000383490000000042 × 0.348013205433042 × 6371000     		do = 850.271010629409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43986899--0.43948550) × cos(1.21521185) × R
    0.000383490000000042 × 0.348138338448399 × 6371000     		du = 850.576737463248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21534533)-sin(1.21521185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348013205433042-0.348138338448399)×R²
    abs(-0.43948550--0.43986899)×0.000125133015357659×R²
    0.000383490000000042×0.000125133015357659×6371000²
    0.000383490000000042×0.000125133015357659×40589641000000     		ar = 723201.382021148m²