Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70445 / 95652
↖ ↑ ↗
← S 63.435774°
E 13.482971°		 ← 136.59 m → S 63.435774°
E 13.485718°		 →
↑
136.53 m
↓
↑
136.53 m
↓
S 63.437002°
E 13.482971°		 ← 136.58 m →
18 648 m²		 S 63.437002°
E 13.485718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537456512451172 y=0.729770660400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537456512451172 × 217)
    floor (0.537456512451172 × 131072)
    floor (70445.5)     		tx = 70445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729770660400391 × 217)
    floor (0.729770660400391 × 131072)
    floor (95652.5)     		ty = 95652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70445 / 95652 ti = "17/70445/95652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70445/95652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70445 ÷ 217
    70445 ÷ 131072     		x = 0.537452697753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95652 ÷ 217
    95652 ÷ 131072     		y = 0.729766845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537452697753906 × 2 - 1) × π
    0.0749053955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23532224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729766845703125 × 2 - 1) × π
    -0.45953369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44366766895761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23532224} λ = 0.23532224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44366766895761))-π/2
    2×atan(0.236060377701874)-π/2
    2×0.231816605856261-π/2
    0.463633211712522-1.57079632675     		φ = -1.10716312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23532224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.482971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10716312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.435774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70445 KachelY 95652 0.23532224 -1.10716312 13.482971 -63.435774
    Oben rechts KachelX + 1 70446 KachelY 95652 0.23537018 -1.10716312 13.485718 -63.435774
    Unten links KachelX 70445 KachelY + 1 95653 0.23532224 -1.10718455 13.482971 -63.437002
    Unten rechts KachelX + 1 70446 KachelY + 1 95653 0.23537018 -1.10718455 13.485718 -63.437002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10716312--1.10718455) × R
    2.14299999998779e-05 × 6371000     		dl = 136.530529999222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10716312--1.10718455) × R
    2.14299999998779e-05 × 6371000     		dr = 136.530529999222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23532224-0.23537018) × cos(-1.10716312) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.447200713729001 × 6371000     		do = 136.586608919277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23532224-0.23537018) × cos(-1.10718455) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.447181545913587 × 6371000     		du = 136.58075457507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10716312)-sin(-1.10718455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447200713729001-0.447181545913587)×R²
    abs(0.23537018-0.23532224)×1.91678154145558e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91678154145558e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91678154145558e-05×40589641000000     		ar = 18647.8424589076m²