Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70443 / 95654
↖ ↑ ↗
← S 63.438230°
E 13.477478°		 ← 136.55 m → S 63.438230°
E 13.480224°		 →
↑
136.53 m
↓
↑
136.53 m
↓
S 63.439458°
E 13.477478°		 ← 136.54 m →
18 642 m²		 S 63.439458°
E 13.480224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537441253662109 y=0.729785919189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537441253662109 × 217)
    floor (0.537441253662109 × 131072)
    floor (70443.5)     		tx = 70443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729785919189453 × 217)
    floor (0.729785919189453 × 131072)
    floor (95654.5)     		ty = 95654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70443 / 95654 ti = "17/70443/95654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70443/95654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70443 ÷ 217
    70443 ÷ 131072     		x = 0.537437438964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95654 ÷ 217
    95654 ÷ 131072     		y = 0.729782104492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537437438964844 × 2 - 1) × π
    0.0748748779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23522637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729782104492188 × 2 - 1) × π
    -0.459564208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44376354275685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23522637} λ = 0.23522637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44376354275685))-π/2
    2×atan(0.236037746781487)-π/2
    2×0.231795169359465-π/2
    0.46359033871893-1.57079632675     		φ = -1.10720599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23522637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.477478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10720599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.438230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70443 KachelY 95654 0.23522637 -1.10720599 13.477478 -63.438230
    Oben rechts KachelX + 1 70444 KachelY 95654 0.23527430 -1.10720599 13.480224 -63.438230
    Unten links KachelX 70443 KachelY + 1 95655 0.23522637 -1.10722742 13.477478 -63.439458
    Unten rechts KachelX + 1 70444 KachelY + 1 95655 0.23527430 -1.10722742 13.480224 -63.439458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10720599--1.10722742) × R
    2.14300000001e-05 × 6371000     		dl = 136.530530000637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10720599--1.10722742) × R
    2.14300000001e-05 × 6371000     		dr = 136.530530000637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23522637-0.23527430) × cos(-1.10720599) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.447162368948278 × 6371000     		do = 136.54640872166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23522637-0.23527430) × cos(-1.10722742) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.447143200722045 × 6371000     		du = 136.540555473185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10720599)-sin(-1.10722742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447162368948278-0.447143200722045)×R²
    abs(0.23527430-0.23522637)×1.91682262334347e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.91682262334347e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.91682262334347e-05×40589641000000     		ar = 18642.3539794948m²