Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70441 / 95656
↖ ↑ ↗
← S 63.440687°
E 13.471985°		 ← 136.56 m → S 63.440687°
E 13.474731°		 →
↑
136.53 m
↓
↑
136.53 m
↓
S 63.441914°
E 13.471985°		 ← 136.56 m →
18 645 m²		 S 63.441914°
E 13.474731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537425994873047 y=0.729801177978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537425994873047 × 217)
    floor (0.537425994873047 × 131072)
    floor (70441.5)     		tx = 70441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729801177978516 × 217)
    floor (0.729801177978516 × 131072)
    floor (95656.5)     		ty = 95656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70441 / 95656 ti = "17/70441/95656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70441/95656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70441 ÷ 217
    70441 ÷ 131072     		x = 0.537422180175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95656 ÷ 217
    95656 ÷ 131072     		y = 0.72979736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537422180175781 × 2 - 1) × π
    0.0748443603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23513049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72979736328125 × 2 - 1) × π
    -0.4595947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44385941655609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23513049} λ = 0.23513049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44385941655609))-π/2
    2×atan(0.236015118030708)-π/2
    2×0.231773734700868-π/2
    0.463547469401737-1.57079632675     		φ = -1.10724886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23513049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.471985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10724886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.440687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70441 KachelY 95656 0.23513049 -1.10724886 13.471985 -63.440687
    Oben rechts KachelX + 1 70442 KachelY 95656 0.23517843 -1.10724886 13.474731 -63.440687
    Unten links KachelX 70441 KachelY + 1 95657 0.23513049 -1.10727029 13.471985 -63.441914
    Unten rechts KachelX + 1 70442 KachelY + 1 95657 0.23517843 -1.10727029 13.474731 -63.441914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10724886--1.10727029) × R
    2.14300000001e-05 × 6371000     		dl = 136.530530000637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10724886--1.10727029) × R
    2.14300000001e-05 × 6371000     		dr = 136.530530000637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23513049-0.23517843) × cos(-1.10724886) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.447124023345743 × 6371000     		do = 136.56318570214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23513049-0.23517843) × cos(-1.10727029) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.447104854708726 × 6371000     		du = 136.557331106995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10724886)-sin(-1.10727029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447124023345743-0.447104854708726)×R²
    abs(0.23517843-0.23513049)×1.9168637016953e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.9168637016953e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.9168637016953e-05×40589641000000     		ar = 18644.6444575938m²