Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7044 / 1740
↖ ↑ ↗
← N 80.371707°
W 25.224610°		 ← 408.65 m → N 80.371707°
W 25.202637°		 →
↑
408.76 m
↓
↑
408.76 m
↓
N 80.368031°
W 25.224610°		 ← 408.81 m →
167 074 m²		 N 80.368031°
W 25.202637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429962158203125 y=0.106231689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429962158203125 × 214)
    floor (0.429962158203125 × 16384)
    floor (7044.5)     		tx = 7044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106231689453125 × 214)
    floor (0.106231689453125 × 16384)
    floor (1740.5)     		ty = 1740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7044 / 1740 ti = "14/7044/1740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7044/1740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7044 ÷ 214
    7044 ÷ 16384     		x = 0.429931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1740 ÷ 214
    1740 ÷ 16384     		y = 0.106201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.14013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44025249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106201171875 × 2 - 1) × π
    0.78759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.47431101078882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44025249} λ = -0.44025249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47431101078882))-π/2
    2×atan(11.8735235646001)-π/2
    2×1.48677361741532-π/2
    2.97354723483065-1.57079632675     		φ = 1.40275091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44025249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.224610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40275091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.371707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7044 KachelY 1740 -0.44025249 1.40275091 -25.224610 80.371707
    Oben rechts KachelX + 1 7045 KachelY 1740 -0.43986899 1.40275091 -25.202637 80.371707
    Unten links KachelX 7044 KachelY + 1 1741 -0.44025249 1.40268675 -25.224610 80.368031
    Unten rechts KachelX + 1 7045 KachelY + 1 1741 -0.43986899 1.40268675 -25.202637 80.368031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40275091-1.40268675) × R
    6.41599999999798e-05 × 6371000     		dl = 408.763359999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40275091-1.40268675) × R
    6.41599999999798e-05 × 6371000     		dr = 408.763359999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44025249--0.43986899) × cos(1.40275091) × R
    0.000383499999999981 × 0.167255619689355 × 6371000     		do = 408.652059591157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44025249--0.43986899) × cos(1.40268675) × R
    0.000383499999999981 × 0.167318875559389 × 6371000     		du = 408.806611298409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40275091)-sin(1.40268675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167255619689355-0.167318875559389)×R²
    abs(-0.43986899--0.44025249)×6.32558700336405e-05×R²
    0.000383499999999981×6.32558700336405e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.32558700336405e-05×40589641000000     		ar = 167073.576544257m²