Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7044 / 11135
↖ ↑ ↗
← S 54.149567°
W 25.224610°		 ← 1 430.96 m → S 54.149567°
W 25.202637°		 →
↑
1 430.67 m
↓
↑
1 430.67 m
↓
S 54.162434°
W 25.224610°		 ← 1 430.51 m →
2 046 913 m²		 S 54.162434°
W 25.202637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429962158203125 y=0.679656982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429962158203125 × 214)
    floor (0.429962158203125 × 16384)
    floor (7044.5)     		tx = 7044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679656982421875 × 214)
    floor (0.679656982421875 × 16384)
    floor (11135.5)     		ty = 11135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7044 / 11135 ti = "14/7044/11135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7044/11135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7044 ÷ 214
    7044 ÷ 16384     		x = 0.429931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11135 ÷ 214
    11135 ÷ 16384     		y = 0.67962646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.14013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44025249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67962646484375 × 2 - 1) × π
    -0.3592529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.1286263646546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44025249} λ = -0.44025249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1286263646546))-π/2
    2×atan(0.323477291222142)-π/2
    2×0.312854045212495-π/2
    0.625708090424989-1.57079632675     		φ = -0.94508824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44025249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.224610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94508824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.149567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7044 KachelY 11135 -0.44025249 -0.94508824 -25.224610 -54.149567
    Oben rechts KachelX + 1 7045 KachelY 11135 -0.43986899 -0.94508824 -25.202637 -54.149567
    Unten links KachelX 7044 KachelY + 1 11136 -0.44025249 -0.94531280 -25.224610 -54.162434
    Unten rechts KachelX + 1 7045 KachelY + 1 11136 -0.43986899 -0.94531280 -25.202637 -54.162434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94508824--0.94531280) × R
    0.000224559999999929 × 6371000     		dl = 1430.67175999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94508824--0.94531280) × R
    0.000224559999999929 × 6371000     		dr = 1430.67175999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44025249--0.43986899) × cos(-0.94508824) × R
    0.000383499999999981 × 0.585671358488496 × 6371000     		do = 1430.95823826066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44025249--0.43986899) × cos(-0.94531280) × R
    0.000383499999999981 × 0.585489326925804 × 6371000     		du = 1430.51348445722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94508824)-sin(-0.94531280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585671358488496-0.585489326925804)×R²
    abs(-0.43986899--0.44025249)×0.000182031562691698×R²
    0.000383499999999981×0.000182031562691698×6371000²
    0.000383499999999981×0.000182031562691698×40589641000000     		ar = 2046913.40146755m²