Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70436 / 95495
↖ ↑ ↗
← S 63.242284°
E 13.458252°		 ← 137.51 m → S 63.242284°
E 13.460999°		 →
↑
137.55 m
↓
↑
137.55 m
↓
S 63.243521°
E 13.458252°		 ← 137.50 m →
18 914 m²		 S 63.243521°
E 13.460999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537387847900391 y=0.728572845458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537387847900391 × 217)
    floor (0.537387847900391 × 131072)
    floor (70436.5)     		tx = 70436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728572845458984 × 217)
    floor (0.728572845458984 × 131072)
    floor (95495.5)     		ty = 95495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70436 / 95495 ti = "17/70436/95495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70436/95495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70436 ÷ 217
    70436 ÷ 131072     		x = 0.537384033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95495 ÷ 217
    95495 ÷ 131072     		y = 0.728569030761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537384033203125 × 2 - 1) × π
    0.07476806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23489081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728569030761719 × 2 - 1) × π
    -0.457138061523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.43614157571726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23489081} λ = 0.23489081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43614157571726))-π/2
    2×atan(0.237843692393587)-π/2
    2×0.233505116619639-π/2
    0.467010233239277-1.57079632675     		φ = -1.10378609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23489081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.458252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10378609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.242284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70436 KachelY 95495 0.23489081 -1.10378609 13.458252 -63.242284
    Oben rechts KachelX + 1 70437 KachelY 95495 0.23493875 -1.10378609 13.460999 -63.242284
    Unten links KachelX 70436 KachelY + 1 95496 0.23489081 -1.10380768 13.458252 -63.243521
    Unten rechts KachelX + 1 70437 KachelY + 1 95496 0.23493875 -1.10380768 13.460999 -63.243521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10378609--1.10380768) × R
    2.15900000000158e-05 × 6371000     		dl = 137.5498900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10378609--1.10380768) × R
    2.15900000000158e-05 × 6371000     		dr = 137.5498900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23489081-0.23493875) × cos(-1.10378609) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.450218687185116 × 6371000     		do = 137.508375695332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23489081-0.23493875) × cos(-1.10380768) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.450199408973568 × 6371000     		du = 137.502487633304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10378609)-sin(-1.10380768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450218687185116-0.450199408973568)×R²
    abs(0.23493875-0.23489081)×1.92782115479573e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.92782115479573e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.92782115479573e-05×40589641000000     		ar = 18913.8570005909m²