Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70433 / 95383
↖ ↑ ↗
← S 63.103457°
E 13.450012°		 ← 138.14 m → S 63.103457°
E 13.452759°		 →
↑
138.12 m
↓
↑
138.12 m
↓
S 63.104700°
E 13.450012°		 ← 138.13 m →
19 080 m²		 S 63.104700°
E 13.452759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537364959716797 y=0.727718353271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537364959716797 × 217)
    floor (0.537364959716797 × 131072)
    floor (70433.5)     		tx = 70433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727718353271484 × 217)
    floor (0.727718353271484 × 131072)
    floor (95383.5)     		ty = 95383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70433 / 95383 ti = "17/70433/95383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70433/95383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70433 ÷ 217
    70433 ÷ 131072     		x = 0.537361145019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95383 ÷ 217
    95383 ÷ 131072     		y = 0.727714538574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537361145019531 × 2 - 1) × π
    0.0747222900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23474700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727714538574219 × 2 - 1) × π
    -0.455429077148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.43077264295982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23474700} λ = 0.23474700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43077264295982))-π/2
    2×atan(0.239124093302347)-π/2
    2×0.234716614008898-π/2
    0.469433228017795-1.57079632675     		φ = -1.10136310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23474700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.450012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10136310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.103457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70433 KachelY 95383 0.23474700 -1.10136310 13.450012 -63.103457
    Oben rechts KachelX + 1 70434 KachelY 95383 0.23479493 -1.10136310 13.452759 -63.103457
    Unten links KachelX 70433 KachelY + 1 95384 0.23474700 -1.10138478 13.450012 -63.104700
    Unten rechts KachelX + 1 70434 KachelY + 1 95384 0.23479493 -1.10138478 13.452759 -63.104700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10136310--1.10138478) × R
    2.16800000001349e-05 × 6371000     		dl = 138.12328000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10136310--1.10138478) × R
    2.16800000001349e-05 × 6371000     		dr = 138.12328000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23474700-0.23479493) × cos(-1.10136310) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.452380895649102 × 6371000     		do = 138.139948628633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23474700-0.23479493) × cos(-1.10138478) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.452361560780501 × 6371000     		du = 138.134044493907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10136310)-sin(-1.10138478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452380895649102-0.452361560780501)×R²
    abs(0.23479493-0.23474700)×1.9334868601395e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.9334868601395e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.9334868601395e-05×40589641000000     		ar = 19079.9350551576m²