Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70430 / 95518
↖ ↑ ↗
← S 63.270712°
E 13.441773°		 ← 137.34 m → S 63.270712°
E 13.444519°		 →
↑
137.36 m
↓
↑
137.36 m
↓
S 63.271947°
E 13.441773°		 ← 137.34 m →
18 865 m²		 S 63.271947°
E 13.444519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537342071533203 y=0.728748321533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537342071533203 × 217)
    floor (0.537342071533203 × 131072)
    floor (70430.5)     		tx = 70430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728748321533203 × 217)
    floor (0.728748321533203 × 131072)
    floor (95518.5)     		ty = 95518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70430 / 95518 ti = "17/70430/95518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70430/95518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70430 ÷ 217
    70430 ÷ 131072     		x = 0.537338256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95518 ÷ 217
    95518 ÷ 131072     		y = 0.728744506835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537338256835938 × 2 - 1) × π
    0.074676513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23460319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728744506835938 × 2 - 1) × π
    -0.457489013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43724412440852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23460319} λ = 0.23460319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43724412440852))-π/2
    2×atan(0.237581602651715)-π/2
    2×0.233257044751074-π/2
    0.466514089502147-1.57079632675     		φ = -1.10428224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23460319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.441773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10428224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.270712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70430 KachelY 95518 0.23460319 -1.10428224 13.441773 -63.270712
    Oben rechts KachelX + 1 70431 KachelY 95518 0.23465112 -1.10428224 13.444519 -63.270712
    Unten links KachelX 70430 KachelY + 1 95519 0.23460319 -1.10430380 13.441773 -63.271947
    Unten rechts KachelX + 1 70431 KachelY + 1 95519 0.23465112 -1.10430380 13.444519 -63.271947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10428224--1.10430380) × R
    2.1559999999976e-05 × 6371000     		dl = 137.358759999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10428224--1.10430380) × R
    2.1559999999976e-05 × 6371000     		dr = 137.358759999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23460319-0.23465112) × cos(-1.10428224) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.449775610362735 × 6371000     		do = 137.344393424858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23460319-0.23465112) × cos(-1.10430380) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.449756354125514 × 6371000     		du = 137.33851330117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10428224)-sin(-1.10430380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449775610362735-0.449756354125514)×R²
    abs(0.23465112-0.23460319)×1.92562372207661e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.92562372207661e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.92562372207661e-05×40589641000000     		ar = 18865.0517312191m²