Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7043 / 10868
↖ ↑ ↗
← S 50.569283°
W 25.246582°		 ← 1 551.79 m → S 50.569283°
W 25.224610°		 →
↑
1 551.59 m
↓
↑
1 551.59 m
↓
S 50.583237°
W 25.246582°		 ← 1 551.34 m →
2 407 398 m²		 S 50.583237°
W 25.224610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429901123046875 y=0.663360595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429901123046875 × 214)
    floor (0.429901123046875 × 16384)
    floor (7043.5)     		tx = 7043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663360595703125 × 214)
    floor (0.663360595703125 × 16384)
    floor (10868.5)     		ty = 10868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7043 / 10868 ti = "14/7043/10868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7043/10868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7043 ÷ 214
    7043 ÷ 16384     		x = 0.42987060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10868 ÷ 214
    10868 ÷ 16384     		y = 0.663330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42987060546875 × 2 - 1) × π
    -0.1402587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44063598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663330078125 × 2 - 1) × π
    -0.32666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.02623314706616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44063598} λ = -0.44063598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02623314706616))-π/2
    2×atan(0.358354289287412)-π/2
    2×0.34409792021838-π/2
    0.68819584043676-1.57079632675     		φ = -0.88260049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44063598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.246582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88260049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.569283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7043 KachelY 10868 -0.44063598 -0.88260049 -25.246582 -50.569283
    Oben rechts KachelX + 1 7044 KachelY 10868 -0.44025249 -0.88260049 -25.224610 -50.569283
    Unten links KachelX 7043 KachelY + 1 10869 -0.44063598 -0.88284403 -25.246582 -50.583237
    Unten rechts KachelX + 1 7044 KachelY + 1 10869 -0.44025249 -0.88284403 -25.224610 -50.583237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88260049--0.88284403) × R
    0.000243540000000042 × 6371000     		dl = 1551.59334000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88260049--0.88284403) × R
    0.000243540000000042 × 6371000     		dr = 1551.59334000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44063598--0.44025249) × cos(-0.88260049) × R
    0.000383489999999986 × 0.635144693328959 × 6371000     		do = 1551.79490853127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44063598--0.44025249) × cos(-0.88284403) × R
    0.000383489999999986 × 0.634956565860937 × 6371000     		du = 1551.335272719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88260049)-sin(-0.88284403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635144693328959-0.634956565860937)×R²
    abs(-0.44025249--0.44063598)×0.000188127468021548×R²
    0.000383489999999986×0.000188127468021548×6371000²
    0.000383489999999986×0.000188127468021548×40589641000000     		ar = 2407398.07308968m²