Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70427 / 95671
↖ ↑ ↗
← S 63.459101°
E 13.433533°		 ← 136.45 m → S 63.459101°
E 13.436279°		 →
↑
136.47 m
↓
↑
136.47 m
↓
S 63.460329°
E 13.433533°		 ← 136.44 m →
18 620 m²		 S 63.460329°
E 13.436279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537319183349609 y=0.729915618896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537319183349609 × 217)
    floor (0.537319183349609 × 131072)
    floor (70427.5)     		tx = 70427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729915618896484 × 217)
    floor (0.729915618896484 × 131072)
    floor (95671.5)     		ty = 95671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70427 / 95671 ti = "17/70427/95671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70427/95671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70427 ÷ 217
    70427 ÷ 131072     		x = 0.537315368652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95671 ÷ 217
    95671 ÷ 131072     		y = 0.729911804199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537315368652344 × 2 - 1) × π
    0.0746307373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23445938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729911804199219 × 2 - 1) × π
    -0.459823608398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.44457847005039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23445938} λ = 0.23445938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44457847005039))-π/2
    2×atan(0.235845471535143)-π/2
    2×0.231613033342055-π/2
    0.46322606668411-1.57079632675     		φ = -1.10757026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23445938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.433533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10757026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.459101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70427 KachelY 95671 0.23445938 -1.10757026 13.433533 -63.459101
    Oben rechts KachelX + 1 70428 KachelY 95671 0.23450731 -1.10757026 13.436279 -63.459101
    Unten links KachelX 70427 KachelY + 1 95672 0.23445938 -1.10759168 13.433533 -63.460329
    Unten rechts KachelX + 1 70428 KachelY + 1 95672 0.23450731 -1.10759168 13.436279 -63.460329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10757026--1.10759168) × R
    2.14200000001608e-05 × 6371000     		dl = 136.466820001024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10757026--1.10759168) × R
    2.14200000001608e-05 × 6371000     		dr = 136.466820001024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23445938-0.23450731) × cos(-1.10757026) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.446836516965563 × 6371000     		do = 136.446905898738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23445938-0.23450731) × cos(-1.10759168) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.446817354196241 × 6371000     		du = 136.441054316598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10757026)-sin(-1.10759168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446836516965563-0.446817354196241)×R²
    abs(0.23450731-0.23445938)×1.91627693211793e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.91627693211793e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.91627693211793e-05×40589641000000     		ar = 18620.0760741493m²