Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70426 / 95660
↖ ↑ ↗
← S 63.445598°
E 13.430786°		 ← 136.54 m → S 63.445598°
E 13.433533°		 →
↑
136.53 m
↓
↑
136.53 m
↓
S 63.446826°
E 13.430786°		 ← 136.53 m →
18 641 m²		 S 63.446826°
E 13.433533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537311553955078 y=0.729831695556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537311553955078 × 217)
    floor (0.537311553955078 × 131072)
    floor (70426.5)     		tx = 70426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729831695556641 × 217)
    floor (0.729831695556641 × 131072)
    floor (95660.5)     		ty = 95660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70426 / 95660 ti = "17/70426/95660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70426/95660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70426 ÷ 217
    70426 ÷ 131072     		x = 0.537307739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95660 ÷ 217
    95660 ÷ 131072     		y = 0.729827880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537307739257812 × 2 - 1) × π
    0.074615478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23441144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729827880859375 × 2 - 1) × π
    -0.45965576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44405116415457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23441144} λ = 0.23441144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44405116415457))-π/2
    2×atan(0.235969867037144)-π/2
    2×0.231730870897799-π/2
    0.463461741795599-1.57079632675     		φ = -1.10733458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23441144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.430786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10733458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.445598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70426 KachelY 95660 0.23441144 -1.10733458 13.430786 -63.445598
    Oben rechts KachelX + 1 70427 KachelY 95660 0.23445938 -1.10733458 13.433533 -63.445598
    Unten links KachelX 70426 KachelY + 1 95661 0.23441144 -1.10735601 13.430786 -63.446826
    Unten rechts KachelX + 1 70427 KachelY + 1 95661 0.23445938 -1.10735601 13.433533 -63.446826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10733458--1.10735601) × R
    2.14299999998779e-05 × 6371000     		dl = 136.530529999222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10733458--1.10735601) × R
    2.14299999998779e-05 × 6371000     		dr = 136.530529999222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23441144-0.23445938) × cos(-1.10733458) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.447047347565727 × 6371000     		do = 136.539766945289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23441144-0.23445938) × cos(-1.10735601) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.447028178107441 × 6371000     		du = 136.533912099306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10733458)-sin(-1.10735601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447047347565727-0.447028178107441)×R²
    abs(0.23445938-0.23441144)×1.91694582864499e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.91694582864499e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.91694582864499e-05×40589641000000     		ar = 18641.4470652926m²