Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70425 / 95459
↖ ↑ ↗
← S 63.197734°
E 13.428039°		 ← 137.72 m → S 63.197734°
E 13.430786°		 →
↑
137.68 m
↓
↑
137.68 m
↓
S 63.198972°
E 13.428039°		 ← 137.71 m →
18 961 m²		 S 63.198972°
E 13.430786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537303924560547 y=0.728298187255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537303924560547 × 217)
    floor (0.537303924560547 × 131072)
    floor (70425.5)     		tx = 70425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728298187255859 × 217)
    floor (0.728298187255859 × 131072)
    floor (95459.5)     		ty = 95459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70425 / 95459 ti = "17/70425/95459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70425/95459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70425 ÷ 217
    70425 ÷ 131072     		x = 0.537300109863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95459 ÷ 217
    95459 ÷ 131072     		y = 0.728294372558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537300109863281 × 2 - 1) × π
    0.0746002197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23436350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728294372558594 × 2 - 1) × π
    -0.456588745117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.43441584733094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23436350} λ = 0.23436350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43441584733094))-π/2
    2×atan(0.238254500374602)-π/2
    2×0.233893893625055-π/2
    0.46778778725011-1.57079632675     		φ = -1.10300854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23436350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.428039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10300854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.197734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70425 KachelY 95459 0.23436350 -1.10300854 13.428039 -63.197734
    Oben rechts KachelX + 1 70426 KachelY 95459 0.23441144 -1.10300854 13.430786 -63.197734
    Unten links KachelX 70425 KachelY + 1 95460 0.23436350 -1.10303015 13.428039 -63.198972
    Unten rechts KachelX + 1 70426 KachelY + 1 95460 0.23441144 -1.10303015 13.430786 -63.198972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10300854--1.10303015) × R
    2.16099999998942e-05 × 6371000     		dl = 137.677309999326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10300854--1.10303015) × R
    2.16099999998942e-05 × 6371000     		dr = 137.677309999326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23436350-0.23441144) × cos(-1.10300854) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.450912839660645 × 6371000     		do = 137.720387728843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23436350-0.23441144) × cos(-1.10303015) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.450893551161166 × 6371000     		du = 137.714496524616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10300854)-sin(-1.10303015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450912839660645-0.450893551161166)×R²
    abs(0.23441144-0.23436350)×1.92884994791309e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.92884994791309e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.92884994791309e-05×40589641000000     		ar = 18960.5669728168m²