Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70425 / 95345
↖ ↑ ↗
← S 63.056204°
E 13.428039°		 ← 138.39 m → S 63.056204°
E 13.430786°		 →
↑
138.38 m
↓
↑
138.38 m
↓
S 63.057448°
E 13.428039°		 ← 138.39 m →
19 150 m²		 S 63.057448°
E 13.430786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537303924560547 y=0.727428436279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537303924560547 × 217)
    floor (0.537303924560547 × 131072)
    floor (70425.5)     		tx = 70425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727428436279297 × 217)
    floor (0.727428436279297 × 131072)
    floor (95345.5)     		ty = 95345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70425 / 95345 ti = "17/70425/95345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70425/95345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70425 ÷ 217
    70425 ÷ 131072     		x = 0.537300109863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95345 ÷ 217
    95345 ÷ 131072     		y = 0.727424621582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537300109863281 × 2 - 1) × π
    0.0746002197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23436350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727424621582031 × 2 - 1) × π
    -0.454849243164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.42895104077425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23436350} λ = 0.23436350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42895104077425))-π/2
    2×atan(0.239560079249245)-π/2
    2×0.235128977839463-π/2
    0.470257955678925-1.57079632675     		φ = -1.10053837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23436350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.428039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10053837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.056204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70425 KachelY 95345 0.23436350 -1.10053837 13.428039 -63.056204
    Oben rechts KachelX + 1 70426 KachelY 95345 0.23441144 -1.10053837 13.430786 -63.056204
    Unten links KachelX 70425 KachelY + 1 95346 0.23436350 -1.10056009 13.428039 -63.057448
    Unten rechts KachelX + 1 70426 KachelY + 1 95346 0.23441144 -1.10056009 13.430786 -63.057448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10053837--1.10056009) × R
    2.17200000001139e-05 × 6371000     		dl = 138.378120000725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10053837--1.10056009) × R
    2.17200000001139e-05 × 6371000     		dr = 138.378120000725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23436350-0.23441144) × cos(-1.10053837) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.453116256406659 × 6371000     		do = 138.393367919023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23436350-0.23441144) × cos(-1.10056009) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.453096893974645 × 6371000     		du = 138.387454133897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10053837)-sin(-1.10056009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453116256406659-0.453096893974645)×R²
    abs(0.23441144-0.23436350)×1.93624320136143e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93624320136143e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93624320136143e-05×40589641000000     		ar = 19150.2049048462m²