Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70424 / 95659
↖ ↑ ↗
← S 63.444370°
E 13.425293°		 ← 136.52 m → S 63.444370°
E 13.428039°		 →
↑
136.53 m
↓
↑
136.53 m
↓
S 63.445598°
E 13.425293°		 ← 136.51 m →
18 638 m²		 S 63.445598°
E 13.428039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537296295166016 y=0.729824066162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537296295166016 × 217)
    floor (0.537296295166016 × 131072)
    floor (70424.5)     		tx = 70424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729824066162109 × 217)
    floor (0.729824066162109 × 131072)
    floor (95659.5)     		ty = 95659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70424 / 95659 ti = "17/70424/95659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70424/95659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70424 ÷ 217
    70424 ÷ 131072     		x = 0.53729248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95659 ÷ 217
    95659 ÷ 131072     		y = 0.729820251464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53729248046875 × 2 - 1) × π
    0.0745849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23431557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729820251464844 × 2 - 1) × π
    -0.459640502929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.44400322725495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23431557} λ = 0.23431557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44400322725495))-π/2
    2×atan(0.235981178972101)-π/2
    2×0.231741586159338-π/2
    0.463483172318676-1.57079632675     		φ = -1.10731315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23431557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.425293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10731315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.444370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70424 KachelY 95659 0.23431557 -1.10731315 13.425293 -63.444370
    Oben rechts KachelX + 1 70425 KachelY 95659 0.23436350 -1.10731315 13.428039 -63.444370
    Unten links KachelX 70424 KachelY + 1 95660 0.23431557 -1.10733458 13.425293 -63.445598
    Unten rechts KachelX + 1 70425 KachelY + 1 95660 0.23436350 -1.10733458 13.428039 -63.445598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10731315--1.10733458) × R
    2.14300000001e-05 × 6371000     		dl = 136.530530000637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10731315--1.10733458) × R
    2.14300000001e-05 × 6371000     		dr = 136.530530000637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23431557-0.23436350) × cos(-1.10731315) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.44706651681871 × 6371000     		do = 136.517139120795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23431557-0.23436350) × cos(-1.10733458) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.447047347565727 × 6371000     		du = 136.511285558791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10731315)-sin(-1.10733458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44706651681871-0.447047347565727)×R²
    abs(0.23436350-0.23431557)×1.91692529823984e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.91692529823984e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.91692529823984e-05×40589641000000     		ar = 18638.3577640575m²