Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70422 / 95521
↖ ↑ ↗
← S 63.274418°
E 13.419800°		 ← 137.36 m → S 63.274418°
E 13.422546°		 →
↑
137.30 m
↓
↑
137.30 m
↓
S 63.275652°
E 13.419800°		 ← 137.35 m →
18 858 m²		 S 63.275652°
E 13.422546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537281036376953 y=0.728771209716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537281036376953 × 217)
    floor (0.537281036376953 × 131072)
    floor (70422.5)     		tx = 70422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728771209716797 × 217)
    floor (0.728771209716797 × 131072)
    floor (95521.5)     		ty = 95521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70422 / 95521 ti = "17/70422/95521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70422/95521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70422 ÷ 217
    70422 ÷ 131072     		x = 0.537277221679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95521 ÷ 217
    95521 ÷ 131072     		y = 0.728767395019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537277221679688 × 2 - 1) × π
    0.074554443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23421969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728767395019531 × 2 - 1) × π
    -0.457534790039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.43738793510738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23421969} λ = 0.23421969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43738793510738))-π/2
    2×atan(0.237547438332057)-π/2
    2×0.233224705555415-π/2
    0.466449411110831-1.57079632675     		φ = -1.10434692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23421969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.419800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10434692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.274418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70422 KachelY 95521 0.23421969 -1.10434692 13.419800 -63.274418
    Oben rechts KachelX + 1 70423 KachelY 95521 0.23426763 -1.10434692 13.422546 -63.274418
    Unten links KachelX 70422 KachelY + 1 95522 0.23421969 -1.10436847 13.419800 -63.275652
    Unten rechts KachelX + 1 70423 KachelY + 1 95522 0.23426763 -1.10436847 13.422546 -63.275652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10434692--1.10436847) × R
    2.15500000000368e-05 × 6371000     		dl = 137.295050000235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10434692--1.10436847) × R
    2.15500000000368e-05 × 6371000     		dr = 137.295050000235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23421969-0.23426763) × cos(-1.10434692) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.449717841023896 × 6371000     		do = 137.355404385915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23421969-0.23426763) × cos(-1.10436847) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.44969859309132 × 6371000     		du = 137.349525571865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10434692)-sin(-1.10436847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449717841023896-0.44969859309132)×R²
    abs(0.23426763-0.23421969)×1.92479325758499e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.92479325758499e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.92479325758499e-05×40589641000000     		ar = 18857.8135475872m²