Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70421 / 95520
↖ ↑ ↗
← S 63.273182°
E 13.417053°		 ← 137.36 m → S 63.273182°
E 13.419800°		 →
↑
137.36 m
↓
↑
137.36 m
↓
S 63.274418°
E 13.417053°		 ← 137.36 m →
18 867 m²		 S 63.274418°
E 13.419800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537273406982422 y=0.728763580322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537273406982422 × 217)
    floor (0.537273406982422 × 131072)
    floor (70421.5)     		tx = 70421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728763580322266 × 217)
    floor (0.728763580322266 × 131072)
    floor (95520.5)     		ty = 95520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70421 / 95520 ti = "17/70421/95520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70421/95520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70421 ÷ 217
    70421 ÷ 131072     		x = 0.537269592285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95520 ÷ 217
    95520 ÷ 131072     		y = 0.728759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537269592285156 × 2 - 1) × π
    0.0745391845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23417175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728759765625 × 2 - 1) × π
    -0.45751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43733999820776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23417175} λ = 0.23417175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43733999820776))-π/2
    2×atan(0.237558825892704)-π/2
    2×0.233235484825768-π/2
    0.466470969651536-1.57079632675     		φ = -1.10432536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23417175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.417053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10432536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.273182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70421 KachelY 95520 0.23417175 -1.10432536 13.417053 -63.273182
    Oben rechts KachelX + 1 70422 KachelY 95520 0.23421969 -1.10432536 13.419800 -63.273182
    Unten links KachelX 70421 KachelY + 1 95521 0.23417175 -1.10434692 13.417053 -63.274418
    Unten rechts KachelX + 1 70422 KachelY + 1 95521 0.23421969 -1.10434692 13.419800 -63.274418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10432536--1.10434692) × R
    2.1559999999976e-05 × 6371000     		dl = 137.358759999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10432536--1.10434692) × R
    2.1559999999976e-05 × 6371000     		dr = 137.358759999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23417175-0.23421969) × cos(-1.10432536) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.449737097679231 × 6371000     		do = 137.361285864121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23417175-0.23421969) × cos(-1.10434692) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.449717841023896 × 6371000     		du = 137.355404385915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10432536)-sin(-1.10434692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449737097679231-0.449717841023896)×R²
    abs(0.23421969-0.23417175)×1.92566553355311e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.92566553355311e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.92566553355311e-05×40589641000000     		ar = 18867.3719628075m²