Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70420 / 95476
↖ ↑ ↗
← S 63.218781°
E 13.414307°		 ← 137.59 m → S 63.218781°
E 13.417053°		 →
↑
137.61 m
↓
↑
137.61 m
↓
S 63.220018°
E 13.414307°		 ← 137.59 m →
18 934 m²		 S 63.220018°
E 13.417053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537265777587891 y=0.728427886962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537265777587891 × 217)
    floor (0.537265777587891 × 131072)
    floor (70420.5)     		tx = 70420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728427886962891 × 217)
    floor (0.728427886962891 × 131072)
    floor (95476.5)     		ty = 95476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70420 / 95476 ti = "17/70420/95476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70420/95476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70420 ÷ 217
    70420 ÷ 131072     		x = 0.537261962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95476 ÷ 217
    95476 ÷ 131072     		y = 0.728424072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537261962890625 × 2 - 1) × π
    0.07452392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23412382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728424072265625 × 2 - 1) × π
    -0.45684814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43523077462448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23412382} λ = 0.23412382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43523077462448))-π/2
    2×atan(0.238060419371132)-π/2
    2×0.233710229843594-π/2
    0.467420459687189-1.57079632675     		φ = -1.10337587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23412382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.414307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10337587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.218781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70420 KachelY 95476 0.23412382 -1.10337587 13.414307 -63.218781
    Oben rechts KachelX + 1 70421 KachelY 95476 0.23417175 -1.10337587 13.417053 -63.218781
    Unten links KachelX 70420 KachelY + 1 95477 0.23412382 -1.10339747 13.414307 -63.220018
    Unten rechts KachelX + 1 70421 KachelY + 1 95477 0.23417175 -1.10339747 13.417053 -63.220018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10337587--1.10339747) × R
    2.1599999999955e-05 × 6371000     		dl = 137.613599999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10337587--1.10339747) × R
    2.1599999999955e-05 × 6371000     		dr = 137.613599999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23412382-0.23417175) × cos(-1.10337587) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.450584942248299 × 6371000     		do = 137.591532652378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23412382-0.23417175) × cos(-1.10339747) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.450565659098284 × 6371000     		du = 137.585644310545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10337587)-sin(-1.10339747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450584942248299-0.450565659098284)×R²
    abs(0.23417175-0.23412382)×1.92831500149815e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.92831500149815e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.92831500149815e-05×40589641000000     		ar = 18934.0609806148m²