Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70418 / 95467
↖ ↑ ↗
← S 63.207640°
E 13.408813°		 ← 137.67 m → S 63.207640°
E 13.411560°		 →
↑
137.68 m
↓
↑
137.68 m
↓
S 63.208878°
E 13.408813°		 ← 137.67 m →
18 954 m²		 S 63.208878°
E 13.411560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537250518798828 y=0.728359222412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537250518798828 × 217)
    floor (0.537250518798828 × 131072)
    floor (70418.5)     		tx = 70418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728359222412109 × 217)
    floor (0.728359222412109 × 131072)
    floor (95467.5)     		ty = 95467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70418 / 95467 ti = "17/70418/95467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70418/95467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70418 ÷ 217
    70418 ÷ 131072     		x = 0.537246704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95467 ÷ 217
    95467 ÷ 131072     		y = 0.728355407714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537246704101562 × 2 - 1) × π
    0.074493408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23402794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728355407714844 × 2 - 1) × π
    -0.456710815429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.4347993425279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23402794} λ = 0.23402794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4347993425279))-π/2
    2×atan(0.238163148435688)-π/2
    2×0.233807446967276-π/2
    0.467614893934552-1.57079632675     		φ = -1.10318143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23402794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.408813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10318143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.207640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70418 KachelY 95467 0.23402794 -1.10318143 13.408813 -63.207640
    Oben rechts KachelX + 1 70419 KachelY 95467 0.23407588 -1.10318143 13.411560 -63.207640
    Unten links KachelX 70418 KachelY + 1 95468 0.23402794 -1.10320304 13.408813 -63.208878
    Unten rechts KachelX + 1 70419 KachelY + 1 95468 0.23407588 -1.10320304 13.411560 -63.208878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10318143--1.10320304) × R
    2.16099999998942e-05 × 6371000     		dl = 137.677309999326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10318143--1.10320304) × R
    2.16099999998942e-05 × 6371000     		dr = 137.677309999326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23402794-0.23407588) × cos(-1.10318143) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.450758516843072 × 6371000     		do = 137.673253568087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23402794-0.23407588) × cos(-1.10320304) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.450739226659237 × 6371000     		du = 137.667361849415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10318143)-sin(-1.10320304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450758516843072-0.450739226659237)×R²
    abs(0.23407588-0.23402794)×1.92901838341197e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.92901838341197e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.92901838341197e-05×40589641000000     		ar = 18954.0776328604m²