Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70418 / 95445
↖ ↑ ↗
← S 63.180390°
E 13.408813°		 ← 137.80 m → S 63.180390°
E 13.411560°		 →
↑
137.80 m
↓
↑
137.80 m
↓
S 63.181629°
E 13.408813°		 ← 137.80 m →
18 989 m²		 S 63.181629°
E 13.411560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537250518798828 y=0.728191375732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537250518798828 × 217)
    floor (0.537250518798828 × 131072)
    floor (70418.5)     		tx = 70418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728191375732422 × 217)
    floor (0.728191375732422 × 131072)
    floor (95445.5)     		ty = 95445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70418 / 95445 ti = "17/70418/95445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70418/95445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70418 ÷ 217
    70418 ÷ 131072     		x = 0.537246704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95445 ÷ 217
    95445 ÷ 131072     		y = 0.728187561035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537246704101562 × 2 - 1) × π
    0.074493408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23402794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728187561035156 × 2 - 1) × π
    -0.456375122070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.43374473073626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23402794} λ = 0.23402794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43374473073626))-π/2
    2×atan(0.238414450590179)-π/2
    2×0.234045246494566-π/2
    0.468090492989132-1.57079632675     		φ = -1.10270583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23402794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.408813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10270583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.180390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70418 KachelY 95445 0.23402794 -1.10270583 13.408813 -63.180390
    Oben rechts KachelX + 1 70419 KachelY 95445 0.23407588 -1.10270583 13.411560 -63.180390
    Unten links KachelX 70418 KachelY + 1 95446 0.23402794 -1.10272746 13.408813 -63.181629
    Unten rechts KachelX + 1 70419 KachelY + 1 95446 0.23407588 -1.10272746 13.411560 -63.181629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10270583--1.10272746) × R
    2.16299999999947e-05 × 6371000     		dl = 137.804729999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10270583--1.10272746) × R
    2.16299999999947e-05 × 6371000     		dr = 137.804729999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23402794-0.23407588) × cos(-1.10270583) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.451183008252472 × 6371000     		do = 137.802904170927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23402794-0.23407588) × cos(-1.10272746) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.451163704854664 × 6371000     		du = 137.797008416367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10270583)-sin(-1.10272746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451183008252472-0.451163704854664)×R²
    abs(0.23407588-0.23402794)×1.93033978079238e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93033978079238e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93033978079238e-05×40589641000000     		ar = 18989.4857718687m²