Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70413 / 95500
↖ ↑ ↗
← S 63.248467°
E 13.395081°		 ← 137.48 m → S 63.248467°
E 13.397827°		 →
↑
137.49 m
↓
↑
137.49 m
↓
S 63.249703°
E 13.395081°		 ← 137.47 m →
18 901 m²		 S 63.249703°
E 13.397827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537212371826172 y=0.728610992431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537212371826172 × 217)
    floor (0.537212371826172 × 131072)
    floor (70413.5)     		tx = 70413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728610992431641 × 217)
    floor (0.728610992431641 × 131072)
    floor (95500.5)     		ty = 95500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70413 / 95500 ti = "17/70413/95500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70413/95500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70413 ÷ 217
    70413 ÷ 131072     		x = 0.537208557128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95500 ÷ 217
    95500 ÷ 131072     		y = 0.728607177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537208557128906 × 2 - 1) × π
    0.0744171142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23378826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728607177734375 × 2 - 1) × π
    -0.45721435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43638126021536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23378826} λ = 0.23378826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43638126021536))-π/2
    2×atan(0.237786691778904)-π/2
    2×0.233451167173388-π/2
    0.466902334346775-1.57079632675     		φ = -1.10389399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23378826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.395081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10389399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.248467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70413 KachelY 95500 0.23378826 -1.10389399 13.395081 -63.248467
    Oben rechts KachelX + 1 70414 KachelY 95500 0.23383620 -1.10389399 13.397827 -63.248467
    Unten links KachelX 70413 KachelY + 1 95501 0.23378826 -1.10391557 13.395081 -63.249703
    Unten rechts KachelX + 1 70414 KachelY + 1 95501 0.23383620 -1.10391557 13.397827 -63.249703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10389399--1.10391557) × R
    2.15800000000765e-05 × 6371000     		dl = 137.486180000488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10389399--1.10391557) × R
    2.15800000000765e-05 × 6371000     		dr = 137.486180000488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23378826-0.23383620) × cos(-1.10389399) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.450122338677305 × 6371000     		do = 137.478948381036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23378826-0.23383620) × cos(-1.10391557) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.450103068346846 × 6371000     		du = 137.473062726096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10389399)-sin(-1.10391557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450122338677305-0.450103068346846)×R²
    abs(0.23383620-0.23378826)×1.92703304591202e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.92703304591202e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.92703304591202e-05×40589641000000     		ar = 18901.0508459718m²