Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70405 / 95584
↖ ↑ ↗
← S 63.352129°
E 13.373108°		 ← 136.99 m → S 63.352129°
E 13.375854°		 →
↑
136.98 m
↓
↑
136.98 m
↓
S 63.353361°
E 13.373108°		 ← 136.98 m →
18 763 m²		 S 63.353361°
E 13.375854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537151336669922 y=0.729251861572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537151336669922 × 217)
    floor (0.537151336669922 × 131072)
    floor (70405.5)     		tx = 70405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729251861572266 × 217)
    floor (0.729251861572266 × 131072)
    floor (95584.5)     		ty = 95584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70405 / 95584 ti = "17/70405/95584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70405/95584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70405 ÷ 217
    70405 ÷ 131072     		x = 0.537147521972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95584 ÷ 217
    95584 ÷ 131072     		y = 0.729248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537147521972656 × 2 - 1) × π
    0.0742950439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23340476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729248046875 × 2 - 1) × π
    -0.45849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44040795978345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23340476} λ = 0.23340476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44040795978345))-π/2
    2×atan(0.2368311213984)-π/2
    2×0.232546541319808-π/2
    0.465093082639616-1.57079632675     		φ = -1.10570324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23340476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.373108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10570324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.352129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70405 KachelY 95584 0.23340476 -1.10570324 13.373108 -63.352129
    Oben rechts KachelX + 1 70406 KachelY 95584 0.23345270 -1.10570324 13.375854 -63.352129
    Unten links KachelX 70405 KachelY + 1 95585 0.23340476 -1.10572474 13.373108 -63.353361
    Unten rechts KachelX + 1 70406 KachelY + 1 95585 0.23345270 -1.10572474 13.375854 -63.353361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10570324--1.10572474) × R
    2.15000000001186e-05 × 6371000     		dl = 136.976500000756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10570324--1.10572474) × R
    2.15000000001186e-05 × 6371000     		dr = 136.976500000756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23340476-0.23345270) × cos(-1.10570324) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.44850600248744 × 6371000     		do = 136.985277704237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23340476-0.23345270) × cos(-1.10572474) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.448486786117662 × 6371000     		du = 136.979408530277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10570324)-sin(-1.10572474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44850600248744-0.448486786117662)×R²
    abs(0.23345270-0.23340476)×1.92163697786962e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92163697786962e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92163697786962e-05×40589641000000     		ar = 18763.361922845m²