Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70391 / 96072
↖ ↑ ↗
← S 63.947025°
E 13.334656°		 ← 134.12 m → S 63.947025°
E 13.337402°		 →
↑
134.11 m
↓
↑
134.11 m
↓
S 63.948231°
E 13.334656°		 ← 134.11 m →
17 986 m²		 S 63.948231°
E 13.337402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537044525146484 y=0.732975006103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537044525146484 × 217)
    floor (0.537044525146484 × 131072)
    floor (70391.5)     		tx = 70391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732975006103516 × 217)
    floor (0.732975006103516 × 131072)
    floor (96072.5)     		ty = 96072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70391 / 96072 ti = "17/70391/96072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70391/96072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70391 ÷ 217
    70391 ÷ 131072     		x = 0.537040710449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96072 ÷ 217
    96072 ÷ 131072     		y = 0.73297119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537040710449219 × 2 - 1) × π
    0.0740814208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23273365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73297119140625 × 2 - 1) × π
    -0.4659423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46380116679803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23273365} λ = 0.23273365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46380116679803))-π/2
    2×atan(0.231355181564899)-π/2
    2×0.227355100653464-π/2
    0.454710201306929-1.57079632675     		φ = -1.11608613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23273365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.334656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11608613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.947025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70391 KachelY 96072 0.23273365 -1.11608613 13.334656 -63.947025
    Oben rechts KachelX + 1 70392 KachelY 96072 0.23278158 -1.11608613 13.337402 -63.947025
    Unten links KachelX 70391 KachelY + 1 96073 0.23273365 -1.11610718 13.334656 -63.948231
    Unten rechts KachelX + 1 70392 KachelY + 1 96073 0.23278158 -1.11610718 13.337402 -63.948231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11608613--1.11610718) × R
    2.10499999999669e-05 × 6371000     		dl = 134.109549999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11608613--1.11610718) × R
    2.10499999999669e-05 × 6371000     		dr = 134.109549999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23273365-0.23278158) × cos(-1.11608613) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.439201976430193 × 6371000     		do = 134.11560710274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23273365-0.23278158) × cos(-1.11610718) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.439183065258163 × 6371000     		du = 134.109832348859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11608613)-sin(-1.11610718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439201976430193-0.439183065258163)×R²
    abs(0.23278158-0.23273365)×1.89111720306223e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.89111720306223e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.89111720306223e-05×40589641000000     		ar = 17985.7964924662m²