Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70384 / 95568
↖ ↑ ↗
← S 63.332413°
E 13.315430°		 ← 137.08 m → S 63.332413°
E 13.318176°		 →
↑
137.04 m
↓
↑
137.04 m
↓
S 63.333645°
E 13.315430°		 ← 137.07 m →
18 785 m²		 S 63.333645°
E 13.318176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536991119384766 y=0.729129791259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536991119384766 × 217)
    floor (0.536991119384766 × 131072)
    floor (70384.5)     		tx = 70384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729129791259766 × 217)
    floor (0.729129791259766 × 131072)
    floor (95568.5)     		ty = 95568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70384 / 95568 ti = "17/70384/95568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70384/95568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70384 ÷ 217
    70384 ÷ 131072     		x = 0.5369873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95568 ÷ 217
    95568 ÷ 131072     		y = 0.7291259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5369873046875 × 2 - 1) × π
    0.073974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23239809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7291259765625 × 2 - 1) × π
    -0.458251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43964096938953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23239809} λ = 0.23239809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43964096938953))-π/2
    2×atan(0.237012838272134)-π/2
    2×0.232718600180955-π/2
    0.46543720036191-1.57079632675     		φ = -1.10535913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23239809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.315430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10535913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.332413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70384 KachelY 95568 0.23239809 -1.10535913 13.315430 -63.332413
    Oben rechts KachelX + 1 70385 KachelY 95568 0.23244603 -1.10535913 13.318176 -63.332413
    Unten links KachelX 70384 KachelY + 1 95569 0.23239809 -1.10538064 13.315430 -63.333645
    Unten rechts KachelX + 1 70385 KachelY + 1 95569 0.23244603 -1.10538064 13.318176 -63.333645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10535913--1.10538064) × R
    2.15099999998358e-05 × 6371000     		dl = 137.040209998954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10535913--1.10538064) × R
    2.15099999998358e-05 × 6371000     		dr = 137.040209998954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23239809-0.23244603) × cos(-1.10535913) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.448813534500879 × 6371000     		do = 137.079205896936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23239809-0.23244603) × cos(-1.10538064) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.448794312514028 × 6371000     		du = 137.073335007378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10535913)-sin(-1.10538064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448813534500879-0.448794312514028)×R²
    abs(0.23244603-0.23239809)×1.92219868515586e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.92219868515586e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.92219868515586e-05×40589641000000     		ar = 18784.9608893229m²