Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70380 / 95527
↖ ↑ ↗
← S 63.281828°
E 13.304443°		 ← 137.32 m → S 63.281828°
E 13.307190°		 →
↑
137.30 m
↓
↑
137.30 m
↓
S 63.283062°
E 13.304443°		 ← 137.31 m →
18 853 m²		 S 63.283062°
E 13.307190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536960601806641 y=0.728816986083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536960601806641 × 217)
    floor (0.536960601806641 × 131072)
    floor (70380.5)     		tx = 70380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728816986083984 × 217)
    floor (0.728816986083984 × 131072)
    floor (95527.5)     		ty = 95527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70380 / 95527 ti = "17/70380/95527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70380/95527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70380 ÷ 217
    70380 ÷ 131072     		x = 0.536956787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95527 ÷ 217
    95527 ÷ 131072     		y = 0.728813171386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536956787109375 × 2 - 1) × π
    0.07391357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23220634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728813171386719 × 2 - 1) × π
    -0.457626342773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.4376755565051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23220634} λ = 0.23220634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4376755565051))-π/2
    2×atan(0.23747912443056)-π/2
    2×0.233160039624566-π/2
    0.466320079249133-1.57079632675     		φ = -1.10447625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23220634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.304443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10447625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.281828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70380 KachelY 95527 0.23220634 -1.10447625 13.304443 -63.281828
    Oben rechts KachelX + 1 70381 KachelY 95527 0.23225428 -1.10447625 13.307190 -63.281828
    Unten links KachelX 70380 KachelY + 1 95528 0.23220634 -1.10449780 13.304443 -63.283062
    Unten rechts KachelX + 1 70381 KachelY + 1 95528 0.23225428 -1.10449780 13.307190 -63.283062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10447625--1.10449780) × R
    2.15500000000368e-05 × 6371000     		dl = 137.295050000235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10447625--1.10449780) × R
    2.15500000000368e-05 × 6371000     		dr = 137.295050000235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23220634-0.23225428) × cos(-1.10447625) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.449602323499138 × 6371000     		do = 137.320122360433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23220634-0.23225428) × cos(-1.10449780) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.449583074313359 × 6371000     		du = 137.314243163622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10447625)-sin(-1.10449780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449602323499138-0.449583074313359)×R²
    abs(0.23225428-0.23220634)×1.92491857792798e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.92491857792798e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.92491857792798e-05×40589641000000     		ar = 18852.9694739448m²