Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70377 / 95989
↖ ↑ ↗
← S 63.846722°
E 13.296204°		 ← 134.62 m → S 63.846722°
E 13.298950°		 →
↑
134.62 m
↓
↑
134.62 m
↓
S 63.847933°
E 13.296204°		 ← 134.62 m →
18 123 m²		 S 63.847933°
E 13.298950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536937713623047 y=0.732341766357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536937713623047 × 217)
    floor (0.536937713623047 × 131072)
    floor (70377.5)     		tx = 70377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732341766357422 × 217)
    floor (0.732341766357422 × 131072)
    floor (95989.5)     		ty = 95989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70377 / 95989 ti = "17/70377/95989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70377/95989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70377 ÷ 217
    70377 ÷ 131072     		x = 0.536933898925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95989 ÷ 217
    95989 ÷ 131072     		y = 0.732337951660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536933898925781 × 2 - 1) × π
    0.0738677978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23206253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732337951660156 × 2 - 1) × π
    -0.464675903320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.45982240412957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23206253} λ = 0.23206253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45982240412957))-π/2
    2×atan(0.232277522595732)-π/2
    2×0.228230403871849-π/2
    0.456460807743699-1.57079632675     		φ = -1.11433552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23206253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.296204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11433552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.846722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70377 KachelY 95989 0.23206253 -1.11433552 13.296204 -63.846722
    Oben rechts KachelX + 1 70378 KachelY 95989 0.23211047 -1.11433552 13.298950 -63.846722
    Unten links KachelX 70377 KachelY + 1 95990 0.23206253 -1.11435665 13.296204 -63.847933
    Unten rechts KachelX + 1 70378 KachelY + 1 95990 0.23211047 -1.11435665 13.298950 -63.847933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11433552--1.11435665) × R
    2.11299999999248e-05 × 6371000     		dl = 134.619229999521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11433552--1.11435665) × R
    2.11299999999248e-05 × 6371000     		dr = 134.619229999521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23206253-0.23211047) × cos(-1.11433552) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.440774030256071 × 6371000     		do = 134.62373436381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23206253-0.23211047) × cos(-1.11435665) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.440755063487212 × 6371000     		du = 134.617941424396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11433552)-sin(-1.11435665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440774030256071-0.440755063487212)×R²
    abs(0.23211047-0.23206253)×1.89667688587081e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.89667688587081e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.89667688587081e-05×40589641000000     		ar = 18122.5535397297m²