Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70371 / 95971
↖ ↑ ↗
← S 63.824922°
E 13.279724°		 ← 134.73 m → S 63.824922°
E 13.282471°		 →
↑
134.75 m
↓
↑
134.75 m
↓
S 63.826134°
E 13.279724°		 ← 134.72 m →
18 154 m²		 S 63.826134°
E 13.282471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536891937255859 y=0.732204437255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536891937255859 × 217)
    floor (0.536891937255859 × 131072)
    floor (70371.5)     		tx = 70371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732204437255859 × 217)
    floor (0.732204437255859 × 131072)
    floor (95971.5)     		ty = 95971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70371 / 95971 ti = "17/70371/95971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70371/95971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70371 ÷ 217
    70371 ÷ 131072     		x = 0.536888122558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95971 ÷ 217
    95971 ÷ 131072     		y = 0.732200622558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536888122558594 × 2 - 1) × π
    0.0737762451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23177491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732200622558594 × 2 - 1) × π
    -0.464401245117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.45895953993641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23177491} λ = 0.23177491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45895953993641))-π/2
    2×atan(0.23247803304706)-π/2
    2×0.228420641593811-π/2
    0.456841283187622-1.57079632675     		φ = -1.11395504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23177491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.279724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11395504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.824922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70371 KachelY 95971 0.23177491 -1.11395504 13.279724 -63.824922
    Oben rechts KachelX + 1 70372 KachelY 95971 0.23182285 -1.11395504 13.282471 -63.824922
    Unten links KachelX 70371 KachelY + 1 95972 0.23177491 -1.11397619 13.279724 -63.826134
    Unten rechts KachelX + 1 70372 KachelY + 1 95972 0.23182285 -1.11397619 13.282471 -63.826134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11395504--1.11397619) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dl = 134.746650000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11395504--1.11397619) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dr = 134.746650000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23177491-0.23182285) × cos(-1.11395504) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441115524078356 × 6371000     		do = 134.728035367109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23177491-0.23182285) × cos(-1.11397619) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441096542905223 × 6371000     		du = 134.722238028259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11395504)-sin(-1.11397619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441115524078356-0.441096542905223)×R²
    abs(0.23182285-0.23177491)×1.89811731338141e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89811731338141e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89811731338141e-05×40589641000000     		ar = 18153.7608414254m²