Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7037 / 10871
↖ ↑ ↗
← S 50.611132°
W 25.378418°		 ← 1 550.42 m → S 50.611132°
W 25.356445°		 →
↑
1 550.19 m
↓
↑
1 550.19 m
↓
S 50.625073°
W 25.378418°		 ← 1 549.96 m →
2 403 086 m²		 S 50.625073°
W 25.356445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429534912109375 y=0.663543701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429534912109375 × 214)
    floor (0.429534912109375 × 16384)
    floor (7037.5)     		tx = 7037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663543701171875 × 214)
    floor (0.663543701171875 × 16384)
    floor (10871.5)     		ty = 10871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7037 / 10871 ti = "14/7037/10871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7037/10871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7037 ÷ 214
    7037 ÷ 16384     		x = 0.42950439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10871 ÷ 214
    10871 ÷ 16384     		y = 0.66351318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42950439453125 × 2 - 1) × π
    -0.1409912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44293695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66351318359375 × 2 - 1) × π
    -0.3270263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02738363265704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44293695} λ = -0.44293695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02738363265704))-π/2
    2×atan(0.357942244912163)-π/2
    2×0.343732720127757-π/2
    0.687465440255515-1.57079632675     		φ = -0.88333089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44293695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.378418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88333089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.611132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7037 KachelY 10871 -0.44293695 -0.88333089 -25.378418 -50.611132
    Oben rechts KachelX + 1 7038 KachelY 10871 -0.44255346 -0.88333089 -25.356445 -50.611132
    Unten links KachelX 7037 KachelY + 1 10872 -0.44293695 -0.88357421 -25.378418 -50.625073
    Unten rechts KachelX + 1 7038 KachelY + 1 10872 -0.44255346 -0.88357421 -25.356445 -50.625073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88333089--0.88357421) × R
    0.000243320000000047 × 6371000     		dl = 1550.1917200003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88333089--0.88357421) × R
    0.000243320000000047 × 6371000     		dr = 1550.1917200003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44293695--0.44255346) × cos(-0.88333089) × R
    0.000383489999999986 × 0.634580367983464 × 6371000     		do = 1550.41614050079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44293695--0.44255346) × cos(-0.88357421) × R
    0.000383489999999986 × 0.634392297664295 × 6371000     		du = 1549.95664431543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88333089)-sin(-0.88357421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634580367983464-0.634392297664295)×R²
    abs(-0.44255346--0.44293695)×0.000188070319169564×R²
    0.000383489999999986×0.000188070319169564×6371000²
    0.000383489999999986×0.000188070319169564×40589641000000     		ar = 2403086.121824m²