Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70369 / 95965
↖ ↑ ↗
← S 63.817652°
E 13.274231°		 ← 134.73 m → S 63.817652°
E 13.276977°		 →
↑
134.75 m
↓
↑
134.75 m
↓
S 63.818864°
E 13.274231°		 ← 134.73 m →
18 155 m²		 S 63.818864°
E 13.276977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536876678466797 y=0.732158660888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536876678466797 × 217)
    floor (0.536876678466797 × 131072)
    floor (70369.5)     		tx = 70369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732158660888672 × 217)
    floor (0.732158660888672 × 131072)
    floor (95965.5)     		ty = 95965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70369 / 95965 ti = "17/70369/95965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70369/95965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70369 ÷ 217
    70369 ÷ 131072     		x = 0.536872863769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95965 ÷ 217
    95965 ÷ 131072     		y = 0.732154846191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536872863769531 × 2 - 1) × π
    0.0737457275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23167904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732154846191406 × 2 - 1) × π
    -0.464309692382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.45867191853869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23167904} λ = 0.23167904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45867191853869))-π/2
    2×atan(0.232544908320783)-π/2
    2×0.228484086913059-π/2
    0.456968173826118-1.57079632675     		φ = -1.11382815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23167904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.274231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11382815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.817652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70369 KachelY 95965 0.23167904 -1.11382815 13.274231 -63.817652
    Oben rechts KachelX + 1 70370 KachelY 95965 0.23172697 -1.11382815 13.276977 -63.817652
    Unten links KachelX 70369 KachelY + 1 95966 0.23167904 -1.11384930 13.274231 -63.818864
    Unten rechts KachelX + 1 70370 KachelY + 1 95966 0.23172697 -1.11384930 13.276977 -63.818864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11382815--1.11384930) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dl = 134.746650000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11382815--1.11384930) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dr = 134.746650000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23167904-0.23172697) × cos(-1.11382815) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.44122939799918 × 6371000     		do = 134.734704668712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23167904-0.23172697) × cos(-1.11384930) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.441210418010005 × 6371000     		du = 134.728908900688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11382815)-sin(-1.11384930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44122939799918-0.441210418010005)×R²
    abs(0.23172697-0.23167904)×1.89799891743836e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.89799891743836e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.89799891743836e-05×40589641000000     		ar = 18154.6596134078m²